Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19779 / 21091
↖ ↑ ↗
← S 45.851761°
E 37.298584°		 ← 850.85 m → S 45.851761°
E 37.309570°		 →
↑
850.78 m
↓
↑
850.78 m
↓
S 45.859412°
E 37.298584°		 ← 850.73 m →
723 838 m²		 S 45.859412°
E 37.309570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603622436523438 y=0.643661499023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603622436523438 × 215)
    floor (0.603622436523438 × 32768)
    floor (19779.5)     		tx = 19779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643661499023438 × 215)
    floor (0.643661499023438 × 32768)
    floor (21091.5)     		ty = 21091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19779 / 21091 ti = "15/19779/21091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19779/21091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19779 ÷ 215
    19779 ÷ 32768     		x = 0.603607177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21091 ÷ 215
    21091 ÷ 32768     		y = 0.643646240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603607177734375 × 2 - 1) × π
    0.20721435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.65098310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643646240234375 × 2 - 1) × π
    -0.28729248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.902555946046417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65098310} λ = 0.65098310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.902555946046417))-π/2
    2×atan(0.405531816526828)-π/2
    2×0.385266069229206-π/2
    0.770532138458411-1.57079632675     		φ = -0.80026419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65098310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.298584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80026419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.851761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19779 KachelY 21091 0.65098310 -0.80026419 37.298584 -45.851761
    Oben rechts KachelX + 1 19780 KachelY 21091 0.65117484 -0.80026419 37.309570 -45.851761
    Unten links KachelX 19779 KachelY + 1 21092 0.65098310 -0.80039773 37.298584 -45.859412
    Unten rechts KachelX + 1 19780 KachelY + 1 21092 0.65117484 -0.80039773 37.309570 -45.859412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80026419--0.80039773) × R
    0.000133539999999988 × 6371000     		dl = 850.783339999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80026419--0.80039773) × R
    0.000133539999999988 × 6371000     		dr = 850.783339999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65098310-0.65117484) × cos(-0.80026419) × R
    0.000191739999999996 × 0.696517166729921 × 6371000     		do = 850.848334067354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65098310-0.65117484) × cos(-0.80039773) × R
    0.000191739999999996 × 0.696421340210933 × 6371000     		du = 850.731274735675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80026419)-sin(-0.80039773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.696517166729921-0.696421340210933)×R²
    abs(0.65117484-0.65098310)×9.58265189877627e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58265189877627e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58265189877627e-05×40589641000000     		ar = 723837.792502742m²