Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19778 / 20814
↖ ↑ ↗
← S 43.691708°
E 37.287598°		 ← 883.33 m → S 43.691708°
E 37.298584°		 →
↑
883.28 m
↓
↑
883.28 m
↓
S 43.699651°
E 37.287598°		 ← 883.21 m →
780 170 m²		 S 43.699651°
E 37.298584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603591918945312 y=0.635208129882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603591918945312 × 215)
    floor (0.603591918945312 × 32768)
    floor (19778.5)     		tx = 19778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635208129882812 × 215)
    floor (0.635208129882812 × 32768)
    floor (20814.5)     		ty = 20814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19778 / 20814 ti = "15/19778/20814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19778/20814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19778 ÷ 215
    19778 ÷ 32768     		x = 0.60357666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20814 ÷ 215
    20814 ÷ 32768     		y = 0.63519287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60357666015625 × 2 - 1) × π
    0.2071533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.65079135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63519287109375 × 2 - 1) × π
    -0.2703857421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.849441861267395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65079135} λ = 0.65079135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.849441861267395))-π/2
    2×atan(0.427653555363431)-π/2
    2×0.404116084042093-π/2
    0.808232168084186-1.57079632675     		φ = -0.76256416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65079135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.287598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76256416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.691708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19778 KachelY 20814 0.65079135 -0.76256416 37.287598 -43.691708
    Oben rechts KachelX + 1 19779 KachelY 20814 0.65098310 -0.76256416 37.298584 -43.691708
    Unten links KachelX 19778 KachelY + 1 20815 0.65079135 -0.76270280 37.287598 -43.699651
    Unten rechts KachelX + 1 19779 KachelY + 1 20815 0.65098310 -0.76270280 37.298584 -43.699651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76256416--0.76270280) × R
    0.000138639999999968 × 6371000     		dl = 883.275439999794m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76256416--0.76270280) × R
    0.000138639999999968 × 6371000     		dr = 883.275439999794m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65079135-0.65098310) × cos(-0.76256416) × R
    0.000191750000000046 × 0.72306712499716 × 6371000     		do = 883.327180281399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65079135-0.65098310) × cos(-0.76270280) × R
    0.000191750000000046 × 0.722971348617856 × 6371000     		du = 883.210176097218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76256416)-sin(-0.76270280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72306712499716-0.722971348617856)×R²
    abs(0.65098310-0.65079135)×9.57763793045796e-05×R²
    0.000191750000000046×9.57763793045796e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.57763793045796e-05×40589641000000     		ar = 780169.531615389m²