Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19775 / 21050
↖ ↑ ↗
← S 45.537137°
E 37.254639°		 ← 855.65 m → S 45.537137°
E 37.265625°		 →
↑
855.63 m
↓
↑
855.63 m
↓
S 45.544832°
E 37.254639°		 ← 855.53 m →
732 065 m²		 S 45.544832°
E 37.265625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603500366210938 y=0.642410278320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603500366210938 × 215)
    floor (0.603500366210938 × 32768)
    floor (19775.5)     		tx = 19775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642410278320312 × 215)
    floor (0.642410278320312 × 32768)
    floor (21050.5)     		ty = 21050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19775 / 21050 ti = "15/19775/21050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19775/21050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19775 ÷ 215
    19775 ÷ 32768     		x = 0.603485107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21050 ÷ 215
    21050 ÷ 32768     		y = 0.64239501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603485107421875 × 2 - 1) × π
    0.20697021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.65021611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64239501953125 × 2 - 1) × π
    -0.2847900390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.894694294508728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65021611} λ = 0.65021611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.894694294508728))-π/2
    2×atan(0.408732531322859)-π/2
    2×0.388011679904586-π/2
    0.776023359809172-1.57079632675     		φ = -0.79477297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65021611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.254639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79477297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.537137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19775 KachelY 21050 0.65021611 -0.79477297 37.254639 -45.537137
    Oben rechts KachelX + 1 19776 KachelY 21050 0.65040785 -0.79477297 37.265625 -45.537137
    Unten links KachelX 19775 KachelY + 1 21051 0.65021611 -0.79490727 37.254639 -45.544832
    Unten rechts KachelX + 1 19776 KachelY + 1 21051 0.65040785 -0.79490727 37.265625 -45.544832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79477297--0.79490727) × R
    0.000134300000000032 × 6371000     		dl = 855.625300000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79477297--0.79490727) × R
    0.000134300000000032 × 6371000     		dr = 855.625300000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65021611-0.65040785) × cos(-0.79477297) × R
    0.000191739999999996 × 0.70044681644662 × 6371000     		do = 855.648698042042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65021611-0.65040785) × cos(-0.79490727) × R
    0.000191739999999996 × 0.700350959602208 × 6371000     		du = 855.531601665566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79477297)-sin(-0.79490727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70044681644662-0.700350959602208)×R²
    abs(0.65040785-0.65021611)×9.58568444121566e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58568444121566e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58568444121566e-05×40589641000000     		ar = 732064.579746375m²