Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1977 / 851
↖ ↑ ↗
← N 71.883578°
W  6.240235°		 ← 3 038.90 m → N 71.883578°
W  6.152344°		 →
↑
3 041.13 m
↓
↑
3 041.13 m
↓
N 71.856229°
W  6.240235°		 ← 3 043.33 m →
9 248 438 m²		 N 71.856229°
W  6.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4827880859375 y=0.2078857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4827880859375 × 212)
    floor (0.4827880859375 × 4096)
    floor (1977.5)     		tx = 1977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2078857421875 × 212)
    floor (0.2078857421875 × 4096)
    floor (851.5)     		ty = 851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1977 / 851 ti = "12/1977/851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1977/851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1977 ÷ 212
    1977 ÷ 4096     		x = 0.482666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 851 ÷ 212
    851 ÷ 4096     		y = 0.207763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482666015625 × 2 - 1) × π
    -0.03466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10891264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207763671875 × 2 - 1) × π
    0.58447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.83617500304663
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10891264} λ = -0.10891264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83617500304663))-π/2
    2×atan(6.27250002376142)-π/2
    2×1.41270072312582-π/2
    2.82540144625163-1.57079632675     		φ = 1.25460512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10891264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.240235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25460512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.883578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1977 KachelY 851 -0.10891264 1.25460512 -6.240235 71.883578
    Oben rechts KachelX + 1 1978 KachelY 851 -0.10737866 1.25460512 -6.152344 71.883578
    Unten links KachelX 1977 KachelY + 1 852 -0.10891264 1.25412778 -6.240235 71.856229
    Unten rechts KachelX + 1 1978 KachelY + 1 852 -0.10737866 1.25412778 -6.152344 71.856229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25460512-1.25412778) × R
    0.000477339999999993 × 6371000     		dl = 3041.13313999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25460512-1.25412778) × R
    0.000477339999999993 × 6371000     		dr = 3041.13313999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10891264--0.10737866) × cos(1.25460512) × R
    0.00153398 × 0.3109488462562 × 6371000     		do = 3038.89890152833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10891264--0.10737866) × cos(1.25412778) × R
    0.00153398 × 0.311402487470188 × 6371000     		du = 3043.33233102478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25460512)-sin(1.25412778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3109488462562-0.311402487470188)×R²
    abs(-0.10737866--0.10891264)×0.000453641213988554×R²
    0.00153398×0.000453641213988554×6371000²
    0.00153398×0.000453641213988554×40589641000000     		ar = 9248437.65883681m²