Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1977 / 2401
↖ ↑ ↗
← S 29.611670°
W  6.240235°		 ← 8 496.58 m → S 29.611670°
W  6.152344°		 →
↑
8 493.37 m
↓
↑
8 493.37 m
↓
S 29.688053°
W  6.240235°		 ← 8 490.13 m →
72 137 238 m²		 S 29.688053°
W  6.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4827880859375 y=0.5863037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4827880859375 × 212)
    floor (0.4827880859375 × 4096)
    floor (1977.5)     		tx = 1977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5863037109375 × 212)
    floor (0.5863037109375 × 4096)
    floor (2401.5)     		ty = 2401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1977 / 2401 ti = "12/1977/2401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1977/2401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1977 ÷ 212
    1977 ÷ 4096     		x = 0.482666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2401 ÷ 212
    2401 ÷ 4096     		y = 0.586181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482666015625 × 2 - 1) × π
    -0.03466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10891264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586181640625 × 2 - 1) × π
    -0.17236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.541495218108154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10891264} λ = -0.10891264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.541495218108154))-π/2
    2×atan(0.581877567728483)-π/2
    2×0.526987593141875-π/2
    1.05397518628375-1.57079632675     		φ = -0.51682114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10891264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.240235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51682114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.611670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1977 KachelY 2401 -0.10891264 -0.51682114 -6.240235 -29.611670
    Oben rechts KachelX + 1 1978 KachelY 2401 -0.10737866 -0.51682114 -6.152344 -29.611670
    Unten links KachelX 1977 KachelY + 1 2402 -0.10891264 -0.51815427 -6.240235 -29.688053
    Unten rechts KachelX + 1 1978 KachelY + 1 2402 -0.10737866 -0.51815427 -6.152344 -29.688053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51682114--0.51815427) × R
    0.00133313000000002 × 6371000     		dl = 8493.3712300001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51682114--0.51815427) × R
    0.00133313000000002 × 6371000     		dr = 8493.3712300001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10891264--0.10737866) × cos(-0.51682114) × R
    0.00153398 × 0.869394304694246 × 6371000     		do = 8496.57887250532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10891264--0.10737866) × cos(-0.51815427) × R
    0.00153398 × 0.868734807526026 × 6371000     		du = 8490.13361553076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51682114)-sin(-0.51815427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869394304694246-0.868734807526026)×R²
    abs(-0.10737866--0.10891264)×0.000659497168219447×R²
    0.00153398×0.000659497168219447×6371000²
    0.00153398×0.000659497168219447×40589641000000     		ar = 72137238.2528238m²