Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19769 / 21083
↖ ↑ ↗
← S 45.790510°
E 37.188721°		 ← 851.83 m → S 45.790510°
E 37.199707°		 →
↑
851.74 m
↓
↑
851.74 m
↓
S 45.798170°
E 37.188721°		 ← 851.71 m →
725 486 m²		 S 45.798170°
E 37.199707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603317260742188 y=0.643417358398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603317260742188 × 215)
    floor (0.603317260742188 × 32768)
    floor (19769.5)     		tx = 19769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643417358398438 × 215)
    floor (0.643417358398438 × 32768)
    floor (21083.5)     		ty = 21083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19769 / 21083 ti = "15/19769/21083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19769/21083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19769 ÷ 215
    19769 ÷ 32768     		x = 0.603302001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21083 ÷ 215
    21083 ÷ 32768     		y = 0.643402099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603302001953125 × 2 - 1) × π
    0.20660400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.64906562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643402099609375 × 2 - 1) × π
    -0.28680419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.901021965258575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64906562} λ = 0.64906562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.901021965258575))-π/2
    2×atan(0.406154371914163)-π/2
    2×0.385800585219456-π/2
    0.771601170438912-1.57079632675     		φ = -0.79919516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64906562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.188721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79919516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.790510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19769 KachelY 21083 0.64906562 -0.79919516 37.188721 -45.790510
    Oben rechts KachelX + 1 19770 KachelY 21083 0.64925737 -0.79919516 37.199707 -45.790510
    Unten links KachelX 19769 KachelY + 1 21084 0.64906562 -0.79932885 37.188721 -45.798170
    Unten rechts KachelX + 1 19770 KachelY + 1 21084 0.64925737 -0.79932885 37.199707 -45.798170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79919516--0.79932885) × R
    0.000133689999999964 × 6371000     		dl = 851.738989999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79919516--0.79932885) × R
    0.000133689999999964 × 6371000     		dr = 851.738989999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64906562-0.64925737) × cos(-0.79919516) × R
    0.000191749999999935 × 0.697283840509089 × 6371000     		do = 851.829307956355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64906562-0.64925737) × cos(-0.79932885) × R
    0.000191749999999935 × 0.69718800593834 × 6371000     		du = 851.712232683221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79919516)-sin(-0.79932885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697283840509089-0.69718800593834)×R²
    abs(0.64925737-0.64906562)×9.58345707493535e-05×R²
    0.000191749999999935×9.58345707493535e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.58345707493535e-05×40589641000000     		ar = 725486.376703839m²