Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19766 / 20806
↖ ↑ ↗
← S 43.628123°
E 37.155762°		 ← 884.26 m → S 43.628123°
E 37.166748°		 →
↑
884.17 m
↓
↑
884.17 m
↓
S 43.636075°
E 37.155762°		 ← 884.15 m →
781 785 m²		 S 43.636075°
E 37.166748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603225708007812 y=0.634963989257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603225708007812 × 215)
    floor (0.603225708007812 × 32768)
    floor (19766.5)     		tx = 19766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634963989257812 × 215)
    floor (0.634963989257812 × 32768)
    floor (20806.5)     		ty = 20806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19766 / 20806 ti = "15/19766/20806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19766/20806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19766 ÷ 215
    19766 ÷ 32768     		x = 0.60321044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20806 ÷ 215
    20806 ÷ 32768     		y = 0.63494873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60321044921875 × 2 - 1) × π
    0.2064208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.64849038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63494873046875 × 2 - 1) × π
    -0.2698974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.847907880479553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64849038} λ = 0.64849038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.847907880479553))-π/2
    2×atan(0.428310071113748)-π/2
    2×0.404670963402221-π/2
    0.809341926804441-1.57079632675     		φ = -0.76145440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64849038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.155762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76145440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.628123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19766 KachelY 20806 0.64849038 -0.76145440 37.155762 -43.628123
    Oben rechts KachelX + 1 19767 KachelY 20806 0.64868213 -0.76145440 37.166748 -43.628123
    Unten links KachelX 19766 KachelY + 1 20807 0.64849038 -0.76159318 37.155762 -43.636075
    Unten rechts KachelX + 1 19767 KachelY + 1 20807 0.64868213 -0.76159318 37.166748 -43.636075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76145440--0.76159318) × R
    0.000138780000000005 × 6371000     		dl = 884.167380000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76145440--0.76159318) × R
    0.000138780000000005 × 6371000     		dr = 884.167380000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64849038-0.64868213) × cos(-0.76145440) × R
    0.000191749999999935 × 0.723833277129185 × 6371000     		do = 884.26314179684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64849038-0.64868213) × cos(-0.76159318) × R
    0.000191749999999935 × 0.723737515439954 × 6371000     		du = 884.146155558629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76145440)-sin(-0.76159318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723833277129185-0.723737515439954)×R²
    abs(0.64868213-0.64849038)×9.57616892315327e-05×R²
    0.000191749999999935×9.57616892315327e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.57616892315327e-05×40589641000000     		ar = 781784.908859962m²