Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19765 / 21047
↖ ↑ ↗
← S 45.514046°
E 37.144775°		 ← 856.04 m → S 45.514046°
E 37.155762°		 →
↑
855.94 m
↓
↑
855.94 m
↓
S 45.521744°
E 37.144775°		 ← 855.93 m →
732 676 m²		 S 45.521744°
E 37.155762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603195190429688 y=0.642318725585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603195190429688 × 215)
    floor (0.603195190429688 × 32768)
    floor (19765.5)     		tx = 19765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642318725585938 × 215)
    floor (0.642318725585938 × 32768)
    floor (21047.5)     		ty = 21047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19765 / 21047 ti = "15/19765/21047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19765/21047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19765 ÷ 215
    19765 ÷ 32768     		x = 0.603179931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21047 ÷ 215
    21047 ÷ 32768     		y = 0.642303466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603179931640625 × 2 - 1) × π
    0.20635986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64829863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642303466796875 × 2 - 1) × π
    -0.28460693359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.894119051713287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64829863} λ = 0.64829863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.894119051713287))-π/2
    2×atan(0.408967719405404)-π/2
    2×0.38821318475355-π/2
    0.7764263695071-1.57079632675     		φ = -0.79436996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64829863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.144775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79436996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.514046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19765 KachelY 21047 0.64829863 -0.79436996 37.144775 -45.514046
    Oben rechts KachelX + 1 19766 KachelY 21047 0.64849038 -0.79436996 37.155762 -45.514046
    Unten links KachelX 19765 KachelY + 1 21048 0.64829863 -0.79450431 37.144775 -45.521744
    Unten rechts KachelX + 1 19766 KachelY + 1 21048 0.64849038 -0.79450431 37.155762 -45.521744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79436996--0.79450431) × R
    0.00013434999999995 × 6371000     		dl = 855.94384999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79436996--0.79450431) × R
    0.00013434999999995 × 6371000     		dr = 855.94384999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64829863-0.64849038) × cos(-0.79436996) × R
    0.000191750000000046 × 0.700734389647782 × 6371000     		do = 856.04463421873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64829863-0.64849038) × cos(-0.79450431) × R
    0.000191750000000046 × 0.700638535043895 × 6371000     		du = 855.927534472328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79436996)-sin(-0.79450431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700734389647782-0.700638535043895)×R²
    abs(0.64849038-0.64829863)×9.5854603887946e-05×R²
    0.000191750000000046×9.5854603887946e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.5854603887946e-05×40589641000000     		ar = 732676.025683192m²