Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19765 / 20813
↖ ↑ ↗
← S 43.683763°
E 37.144775°		 ← 883.44 m → S 43.683763°
E 37.155762°		 →
↑
883.40 m
↓
↑
883.40 m
↓
S 43.691708°
E 37.144775°		 ← 883.33 m →
780 385 m²		 S 43.691708°
E 37.155762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603195190429688 y=0.635177612304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603195190429688 × 215)
    floor (0.603195190429688 × 32768)
    floor (19765.5)     		tx = 19765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635177612304688 × 215)
    floor (0.635177612304688 × 32768)
    floor (20813.5)     		ty = 20813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19765 / 20813 ti = "15/19765/20813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19765/20813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19765 ÷ 215
    19765 ÷ 32768     		x = 0.603179931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20813 ÷ 215
    20813 ÷ 32768     		y = 0.635162353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603179931640625 × 2 - 1) × π
    0.20635986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64829863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635162353515625 × 2 - 1) × π
    -0.27032470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.849250113668915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64829863} λ = 0.64829863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.849250113668915))-π/2
    2×atan(0.427735564767956)-π/2
    2×0.404185411825639-π/2
    0.808370823651278-1.57079632675     		φ = -0.76242550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64829863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.144775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76242550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.683763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19765 KachelY 20813 0.64829863 -0.76242550 37.144775 -43.683763
    Oben rechts KachelX + 1 19766 KachelY 20813 0.64849038 -0.76242550 37.155762 -43.683763
    Unten links KachelX 19765 KachelY + 1 20814 0.64829863 -0.76256416 37.144775 -43.691708
    Unten rechts KachelX + 1 19766 KachelY + 1 20814 0.64849038 -0.76256416 37.155762 -43.691708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76242550--0.76256416) × R
    0.000138660000000068 × 6371000     		dl = 883.402860000434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76242550--0.76256416) × R
    0.000138660000000068 × 6371000     		dr = 883.402860000434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64829863-0.64849038) × cos(-0.76242550) × R
    0.000191750000000046 × 0.723162901291906 × 6371000     		do = 883.44418436228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64829863-0.64849038) × cos(-0.76256416) × R
    0.000191750000000046 × 0.72306712499716 × 6371000     		du = 883.327180281399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76242550)-sin(-0.76256416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723162901291906-0.72306712499716)×R²
    abs(0.64849038-0.64829863)×9.57762947457752e-05×R²
    0.000191750000000046×9.57762947457752e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.57762947457752e-05×40589641000000     		ar = 780385.439496326m²