Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19763 / 21048
↖ ↑ ↗
← S 45.521744°
E 37.122803°		 ← 855.88 m → S 45.521744°
E 37.133789°		 →
↑
855.88 m
↓
↑
855.88 m
↓
S 45.529441°
E 37.122803°		 ← 855.77 m →
732 483 m²		 S 45.529441°
E 37.133789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603134155273438 y=0.642349243164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603134155273438 × 215)
    floor (0.603134155273438 × 32768)
    floor (19763.5)     		tx = 19763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642349243164062 × 215)
    floor (0.642349243164062 × 32768)
    floor (21048.5)     		ty = 21048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19763 / 21048 ti = "15/19763/21048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19763/21048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19763 ÷ 215
    19763 ÷ 32768     		x = 0.603118896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21048 ÷ 215
    21048 ÷ 32768     		y = 0.642333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603118896484375 × 2 - 1) × π
    0.20623779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.64791514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642333984375 × 2 - 1) × π
    -0.28466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.894310799311768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64791514} λ = 0.64791514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.894310799311768))-π/2
    2×atan(0.408889308345159)-π/2
    2×0.388146007280316-π/2
    0.776292014560633-1.57079632675     		φ = -0.79450431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64791514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.122803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79450431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.521744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19763 KachelY 21048 0.64791514 -0.79450431 37.122803 -45.521744
    Oben rechts KachelX + 1 19764 KachelY 21048 0.64810688 -0.79450431 37.133789 -45.521744
    Unten links KachelX 19763 KachelY + 1 21049 0.64791514 -0.79463865 37.122803 -45.529441
    Unten rechts KachelX + 1 19764 KachelY + 1 21049 0.64810688 -0.79463865 37.133789 -45.529441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79450431--0.79463865) × R
    0.000134340000000011 × 6371000     		dl = 855.880140000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79450431--0.79463865) × R
    0.000134340000000011 × 6371000     		dr = 855.880140000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64791514-0.64810688) × cos(-0.79450431) × R
    0.000191740000000107 × 0.700638535043895 × 6371000     		do = 855.882896791531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64791514-0.64810688) × cos(-0.79463865) × R
    0.000191740000000107 × 0.70054267492964 × 6371000     		du = 855.765796420697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79450431)-sin(-0.79463865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700638535043895-0.70054267492964)×R²
    abs(0.64810688-0.64791514)×9.58601142541093e-05×R²
    0.000191740000000107×9.58601142541093e-05×6371000²
    0.000191740000000107×9.58601142541093e-05×40589641000000     		ar = 732483.062690314m²