Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19763 / 15125
↖ ↑ ↗
← N 13.699362°
E 37.122803°		 ← 1 186.82 m → N 13.699362°
E 37.133789°		 →
↑
1 186.92 m
↓
↑
1 186.92 m
↓
N 13.688688°
E 37.122803°		 ← 1 186.88 m →
1 408 694 m²		 N 13.688688°
E 37.133789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603134155273438 y=0.461593627929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603134155273438 × 215)
    floor (0.603134155273438 × 32768)
    floor (19763.5)     		tx = 19763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461593627929688 × 215)
    floor (0.461593627929688 × 32768)
    floor (15125.5)     		ty = 15125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19763 / 15125 ti = "15/19763/15125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19763/15125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19763 ÷ 215
    19763 ÷ 32768     		x = 0.603118896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15125 ÷ 215
    15125 ÷ 32768     		y = 0.461578369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603118896484375 × 2 - 1) × π
    0.20623779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.64791514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461578369140625 × 2 - 1) × π
    0.07684326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.241410226486603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64791514} λ = 0.64791514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.241410226486603))-π/2
    2×atan(1.27304316422991)-π/2
    2×0.904947647796843-π/2
    1.80989529559369-1.57079632675     		φ = 0.23909897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64791514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.122803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23909897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.699362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19763 KachelY 15125 0.64791514 0.23909897 37.122803 13.699362
    Oben rechts KachelX + 1 19764 KachelY 15125 0.64810688 0.23909897 37.133789 13.699362
    Unten links KachelX 19763 KachelY + 1 15126 0.64791514 0.23891267 37.122803 13.688688
    Unten rechts KachelX + 1 19764 KachelY + 1 15126 0.64810688 0.23891267 37.133789 13.688688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23909897-0.23891267) × R
    0.0001863 × 6371000     		dl = 1186.9173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23909897-0.23891267) × R
    0.0001863 × 6371000     		dr = 1186.9173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64791514-0.64810688) × cos(0.23909897) × R
    0.000191740000000107 × 0.97155175772774 × 6371000     		do = 1186.82386308487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64791514-0.64810688) × cos(0.23891267) × R
    0.000191740000000107 × 0.971595861798049 × 6371000     		du = 1186.87773953838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23909897)-sin(0.23891267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97155175772774-0.971595861798049)×R²
    abs(0.64810688-0.64791514)×4.4104070308304e-05×R²
    0.000191740000000107×4.4104070308304e-05×6371000²
    0.000191740000000107×4.4104070308304e-05×40589641000000     		ar = 1408693.75267014m²