Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19759 / 21080
↖ ↑ ↗
← S 45.767523°
E 37.078857°		 ← 852.18 m → S 45.767523°
E 37.089844°		 →
↑
852.06 m
↓
↑
852.06 m
↓
S 45.775186°
E 37.078857°		 ← 852.06 m →
726 057 m²		 S 45.775186°
E 37.089844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603012084960938 y=0.643325805664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603012084960938 × 215)
    floor (0.603012084960938 × 32768)
    floor (19759.5)     		tx = 19759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643325805664062 × 215)
    floor (0.643325805664062 × 32768)
    floor (21080.5)     		ty = 21080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19759 / 21080 ti = "15/19759/21080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19759/21080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19759 ÷ 215
    19759 ÷ 32768     		x = 0.602996826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21080 ÷ 215
    21080 ÷ 32768     		y = 0.643310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602996826171875 × 2 - 1) × π
    0.20599365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.64714814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643310546875 × 2 - 1) × π
    -0.28662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.900446722463135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64714814} λ = 0.64714814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.900446722463135))-π/2
    2×atan(0.406388076502439)-π/2
    2×0.386001180320613-π/2
    0.772002360641226-1.57079632675     		φ = -0.79879397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64714814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.078857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79879397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.767523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19759 KachelY 21080 0.64714814 -0.79879397 37.078857 -45.767523
    Oben rechts KachelX + 1 19760 KachelY 21080 0.64733989 -0.79879397 37.089844 -45.767523
    Unten links KachelX 19759 KachelY + 1 21081 0.64714814 -0.79892771 37.078857 -45.775186
    Unten rechts KachelX + 1 19760 KachelY + 1 21081 0.64733989 -0.79892771 37.089844 -45.775186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79879397--0.79892771) × R
    0.000133739999999993 × 6371000     		dl = 852.057539999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79879397--0.79892771) × R
    0.000133739999999993 × 6371000     		dr = 852.057539999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64714814-0.64733989) × cos(-0.79879397) × R
    0.000191750000000046 × 0.697571355420939 × 6371000     		do = 852.180547458124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64714814-0.64733989) × cos(-0.79892771) × R
    0.000191750000000046 × 0.697475522423784 × 6371000     		du = 852.063474107354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79879397)-sin(-0.79892771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697571355420939-0.697475522423784)×R²
    abs(0.64733989-0.64714814)×9.58329971550986e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58329971550986e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58329971550986e-05×40589641000000     		ar = 726056.985369699m²