Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19756 / 20804
↖ ↑ ↗
← S 43.612217°
E 37.045898°		 ← 884.50 m → S 43.612217°
E 37.056885°		 →
↑
884.42 m
↓
↑
884.42 m
↓
S 43.620171°
E 37.045898°		 ← 884.38 m →
782 217 m²		 S 43.620171°
E 37.056885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602920532226562 y=0.634902954101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602920532226562 × 215)
    floor (0.602920532226562 × 32768)
    floor (19756.5)     		tx = 19756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634902954101562 × 215)
    floor (0.634902954101562 × 32768)
    floor (20804.5)     		ty = 20804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19756 / 20804 ti = "15/19756/20804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19756/20804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19756 ÷ 215
    19756 ÷ 32768     		x = 0.6029052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20804 ÷ 215
    20804 ÷ 32768     		y = 0.6348876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6029052734375 × 2 - 1) × π
    0.205810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.64657290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6348876953125 × 2 - 1) × π
    -0.269775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.847524385282593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64657290} λ = 0.64657290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.847524385282593))-π/2
    2×atan(0.42847435746833)-π/2
    2×0.404809775057144-π/2
    0.809619550114289-1.57079632675     		φ = -0.76117678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64657290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.045898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76117678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.612217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19756 KachelY 20804 0.64657290 -0.76117678 37.045898 -43.612217
    Oben rechts KachelX + 1 19757 KachelY 20804 0.64676465 -0.76117678 37.056885 -43.612217
    Unten links KachelX 19756 KachelY + 1 20805 0.64657290 -0.76131560 37.045898 -43.620171
    Unten rechts KachelX + 1 19757 KachelY + 1 20805 0.64676465 -0.76131560 37.056885 -43.620171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76117678--0.76131560) × R
    0.000138819999999984 × 6371000     		dl = 884.422219999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76117678--0.76131560) × R
    0.000138819999999984 × 6371000     		dr = 884.422219999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64657290-0.64676465) × cos(-0.76117678) × R
    0.000191750000000046 × 0.724024800069398 × 6371000     		do = 884.497113738391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64657290-0.64676465) × cos(-0.76131560) × R
    0.000191750000000046 × 0.723929038674958 × 6371000     		du = 884.380127860309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76117678)-sin(-0.76131560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724024800069398-0.723929038674958)×R²
    abs(0.64676465-0.64657290)×9.57613944398972e-05×R²
    0.000191750000000046×9.57613944398972e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.57613944398972e-05×40589641000000     		ar = 782217.169717789m²