Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19753 / 20810
↖ ↑ ↗
← S 43.659924°
E 37.012939°		 ← 883.80 m → S 43.659924°
E 37.023926°		 →
↑
883.72 m
↓
↑
883.72 m
↓
S 43.667872°
E 37.012939°		 ← 883.68 m →
780 977 m²		 S 43.667872°
E 37.023926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602828979492188 y=0.635086059570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602828979492188 × 215)
    floor (0.602828979492188 × 32768)
    floor (19753.5)     		tx = 19753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635086059570312 × 215)
    floor (0.635086059570312 × 32768)
    floor (20810.5)     		ty = 20810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19753 / 20810 ti = "15/19753/20810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19753/20810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19753 ÷ 215
    19753 ÷ 32768     		x = 0.602813720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20810 ÷ 215
    20810 ÷ 32768     		y = 0.63507080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602813720703125 × 2 - 1) × π
    0.20562744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.64599766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63507080078125 × 2 - 1) × π
    -0.2701416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.848674870873474
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64599766} λ = 0.64599766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.848674870873474))-π/2
    2×atan(0.427981687353277)-π/2
    2×0.404393450268318-π/2
    0.808786900536636-1.57079632675     		φ = -0.76200943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64599766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.012939°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76200943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.659924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19753 KachelY 20810 0.64599766 -0.76200943 37.012939 -43.659924
    Oben rechts KachelX + 1 19754 KachelY 20810 0.64618941 -0.76200943 37.023926 -43.659924
    Unten links KachelX 19753 KachelY + 1 20811 0.64599766 -0.76214814 37.012939 -43.667872
    Unten rechts KachelX + 1 19754 KachelY + 1 20811 0.64618941 -0.76214814 37.023926 -43.667872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76200943--0.76214814) × R
    0.000138709999999986 × 6371000     		dl = 883.721409999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76200943--0.76214814) × R
    0.000138709999999986 × 6371000     		dr = 883.721409999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64599766-0.64618941) × cos(-0.76200943) × R
    0.000191749999999935 × 0.723450208878909 × 6371000     		do = 883.795170586874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64599766-0.64618941) × cos(-0.76214814) × R
    0.000191749999999935 × 0.723354439786751 × 6371000     		du = 883.678175304958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76200943)-sin(-0.76214814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723450208878909-0.723354439786751)×R²
    abs(0.64618941-0.64599766)×9.57690921572496e-05×R²
    0.000191749999999935×9.57690921572496e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.57690921572496e-05×40589641000000     		ar = 780977.019936222m²