Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19751 / 20809
↖ ↑ ↗
← S 43.651976°
E 36.990967°		 ← 883.91 m → S 43.651976°
E 37.001953°		 →
↑
883.85 m
↓
↑
883.85 m
↓
S 43.659924°
E 36.990967°		 ← 883.80 m →
781 193 m²		 S 43.659924°
E 37.001953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602767944335938 y=0.635055541992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602767944335938 × 215)
    floor (0.602767944335938 × 32768)
    floor (19751.5)     		tx = 19751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635055541992188 × 215)
    floor (0.635055541992188 × 32768)
    floor (20809.5)     		ty = 20809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19751 / 20809 ti = "15/19751/20809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19751/20809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19751 ÷ 215
    19751 ÷ 32768     		x = 0.602752685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20809 ÷ 215
    20809 ÷ 32768     		y = 0.635040283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602752685546875 × 2 - 1) × π
    0.20550537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.64561416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635040283203125 × 2 - 1) × π
    -0.27008056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.848483123274994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64561416} λ = 0.64561416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.848483123274994))-π/2
    2×atan(0.428063759682355)-π/2
    2×0.404462814779498-π/2
    0.808925629558995-1.57079632675     		φ = -0.76187070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64561416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.990967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76187070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.651976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19751 KachelY 20809 0.64561416 -0.76187070 36.990967 -43.651976
    Oben rechts KachelX + 1 19752 KachelY 20809 0.64580591 -0.76187070 37.001953 -43.651976
    Unten links KachelX 19751 KachelY + 1 20810 0.64561416 -0.76200943 36.990967 -43.659924
    Unten rechts KachelX + 1 19752 KachelY + 1 20810 0.64580591 -0.76200943 37.001953 -43.659924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76187070--0.76200943) × R
    0.000138729999999976 × 6371000     		dl = 883.848829999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76187070--0.76200943) × R
    0.000138729999999976 × 6371000     		dr = 883.848829999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64561416-0.64580591) × cos(-0.76187070) × R
    0.000191749999999935 × 0.723545977857072 × 6371000     		do = 883.912165729531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64561416-0.64580591) × cos(-0.76200943) × R
    0.000191749999999935 × 0.723450208878909 × 6371000     		du = 883.795170586874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76187070)-sin(-0.76200943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723545977857072-0.723450208878909)×R²
    abs(0.64580591-0.64561416)×9.57689781634352e-05×R²
    0.000191749999999935×9.57689781634352e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.57689781634352e-05×40589641000000     		ar = 781193.031745157m²