Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 1975 / 2709
↖ ↑ ↗
← N 76.074381°
W136.604004°		 ← 588 m → N 76.074381°
W136.582031°		 →
↑
588.11 m
↓
↑
588.11 m
↓
N 76.069092°
W136.604004°		 ← 588.22 m →
345 874 m²		 N 76.069092°
W136.582031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.120574951171875 y=0.165374755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.120574951171875 × 214)
    floor (0.120574951171875 × 16384)
    floor (1975.5)     		tx = 1975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165374755859375 × 214)
    floor (0.165374755859375 × 16384)
    floor (2709.5)     		ty = 2709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1975 / 2709 ti = "14/1975/2709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1975/2709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1975 ÷ 214
    1975 ÷ 16384     		x = 0.12054443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2709 ÷ 214
    2709 ÷ 16384     		y = 0.16534423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12054443359375 × 2 - 1) × π
    -0.7589111328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.38418964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16534423828125 × 2 - 1) × π
    0.6693115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10270416493414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38418964} λ = -2.38418964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10270416493414))-π/2
    2×atan(8.18828246741433)-π/2
    2×1.44927237349353-π/2
    2.89854474698706-1.57079632675     		φ = 1.32774842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38418964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.604004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32774842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.074381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1975 KachelY 2709 -2.38418964 1.32774842 -136.604004 76.074381
    Oben rechts KachelX + 1 1976 KachelY 2709 -2.38380614 1.32774842 -136.582031 76.074381
    Unten links KachelX 1975 KachelY + 1 2710 -2.38418964 1.32765611 -136.604004 76.069092
    Unten rechts KachelX + 1 1976 KachelY + 1 2710 -2.38380614 1.32765611 -136.582031 76.069092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32774842-1.32765611) × R
    9.23100000000954e-05 × 6371000     		dl = 588.107010000608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32774842-1.32765611) × R
    9.23100000000954e-05 × 6371000     		dr = 588.107010000608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38418964--2.38380614) × cos(1.32774842) × R
    0.000383500000000314 × 0.240662065360597 × 6371000     		do = 588.004450061623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38418964--2.38380614) × cos(1.32765611) × R
    0.000383500000000314 × 0.240751661249022 × 6371000     		du = 588.2233577695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32774842)-sin(1.32765611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240662065360597-0.240751661249022)×R²
    abs(-2.38380614--2.38418964)×8.95958884247761e-05×R²
    0.000383500000000314×8.95958884247761e-05×6371000²
    0.000383500000000314×8.95958884247761e-05×40589641000000     		ar = 345873.909817337m²