Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1975 / 2425
↖ ↑ ↗
← S 31.428663°
W  6.416016°		 ← 8 339.19 m → S 31.428663°
W  6.328125°		 →
↑
8 335.88 m
↓
↑
8 335.88 m
↓
S 31.503629°
W  6.416016°		 ← 8 332.52 m →
69 486 696 m²		 S 31.503629°
W  6.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4822998046875 y=0.5921630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4822998046875 × 212)
    floor (0.4822998046875 × 4096)
    floor (1975.5)     		tx = 1975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5921630859375 × 212)
    floor (0.5921630859375 × 4096)
    floor (2425.5)     		ty = 2425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1975 / 2425 ti = "12/1975/2425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1975/2425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1975 ÷ 212
    1975 ÷ 4096     		x = 0.482177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2425 ÷ 212
    2425 ÷ 4096     		y = 0.592041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482177734375 × 2 - 1) × π
    -0.03564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11198060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592041015625 × 2 - 1) × π
    -0.18408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.578310757016357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11198060} λ = -0.11198060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.578310757016357))-π/2
    2×atan(0.560844970249394)-π/2
    2×0.511131337955494-π/2
    1.02226267591099-1.57079632675     		φ = -0.54853365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11198060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.416016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54853365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.428663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1975 KachelY 2425 -0.11198060 -0.54853365 -6.416016 -31.428663
    Oben rechts KachelX + 1 1976 KachelY 2425 -0.11044662 -0.54853365 -6.328125 -31.428663
    Unten links KachelX 1975 KachelY + 1 2426 -0.11198060 -0.54984206 -6.416016 -31.503629
    Unten rechts KachelX + 1 1976 KachelY + 1 2426 -0.11044662 -0.54984206 -6.328125 -31.503629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54853365--0.54984206) × R
    0.00130841000000004 × 6371000     		dl = 8335.88011000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54853365--0.54984206) × R
    0.00130841000000004 × 6371000     		dr = 8335.88011000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11198060--0.11044662) × cos(-0.54853365) × R
    0.00153398 × 0.853290047661569 × 6371000     		do = 8339.1921846441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11198060--0.11044662) × cos(-0.54984206) × R
    0.00153398 × 0.852607064646969 × 6371000     		du = 8332.51740080804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54853365)-sin(-0.54984206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853290047661569-0.852607064646969)×R²
    abs(-0.11044662--0.11198060)×0.000682983014599792×R²
    0.00153398×0.000682983014599792×6371000²
    0.00153398×0.000682983014599792×40589641000000     		ar = 69486696.0796045m²