Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19747 / 20890
↖ ↑ ↗
← S 44.292401°
E 36.947021°		 ← 874.43 m → S 44.292401°
E 36.958008°		 →
↑
874.36 m
↓
↑
874.36 m
↓
S 44.300264°
E 36.947021°		 ← 874.31 m →
764 513 m²		 S 44.300264°
E 36.958008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602645874023438 y=0.637527465820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602645874023438 × 215)
    floor (0.602645874023438 × 32768)
    floor (19747.5)     		tx = 19747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637527465820312 × 215)
    floor (0.637527465820312 × 32768)
    floor (20890.5)     		ty = 20890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19747 / 20890 ti = "15/19747/20890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19747/20890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19747 ÷ 215
    19747 ÷ 32768     		x = 0.602630615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20890 ÷ 215
    20890 ÷ 32768     		y = 0.63751220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602630615234375 × 2 - 1) × π
    0.20526123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.64484717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63751220703125 × 2 - 1) × π
    -0.2750244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.864014678751892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64484717} λ = 0.64484717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.864014678751892))-π/2
    2×atan(0.421466628126447)-π/2
    2×0.398874047130176-π/2
    0.797748094260352-1.57079632675     		φ = -0.77304823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64484717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.947021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77304823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.292401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19747 KachelY 20890 0.64484717 -0.77304823 36.947021 -44.292401
    Oben rechts KachelX + 1 19748 KachelY 20890 0.64503892 -0.77304823 36.958008 -44.292401
    Unten links KachelX 19747 KachelY + 1 20891 0.64484717 -0.77318547 36.947021 -44.300264
    Unten rechts KachelX + 1 19748 KachelY + 1 20891 0.64503892 -0.77318547 36.958008 -44.300264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77304823--0.77318547) × R
    0.000137240000000038 × 6371000     		dl = 874.356040000245m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77304823--0.77318547) × R
    0.000137240000000038 × 6371000     		dr = 874.356040000245m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64484717-0.64503892) × cos(-0.77304823) × R
    0.000191749999999935 × 0.715785357273734 × 6371000     		do = 874.43148702057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64484717-0.64503892) × cos(-0.77318547) × R
    0.000191749999999935 × 0.715689513047268 × 6371000     		du = 874.314399951633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77304823)-sin(-0.77318547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715785357273734-0.715689513047268)×R²
    abs(0.64503892-0.64484717)×9.58442264660242e-05×R²
    0.000191749999999935×9.58442264660242e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.58442264660242e-05×40589641000000     		ar = 764513.265549863m²