Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19743 / 14939
↖ ↑ ↗
← N 15.675932°
E 36.903076°		 ← 1 176.20 m → N 15.675932°
E 36.914062°		 →
↑
1 176.21 m
↓
↑
1 176.21 m
↓
N 15.665354°
E 36.903076°		 ← 1 176.26 m →
1 383 500 m²		 N 15.665354°
E 36.914062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602523803710938 y=0.455917358398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602523803710938 × 215)
    floor (0.602523803710938 × 32768)
    floor (19743.5)     		tx = 19743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.455917358398438 × 215)
    floor (0.455917358398438 × 32768)
    floor (14939.5)     		ty = 14939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19743 / 14939 ti = "15/19743/14939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19743/14939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19743 ÷ 215
    19743 ÷ 32768     		x = 0.602508544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14939 ÷ 215
    14939 ÷ 32768     		y = 0.455902099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602508544921875 × 2 - 1) × π
    0.20501708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.64408018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.455902099609375 × 2 - 1) × π
    0.08819580078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.277075279803925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64408018} λ = 0.64408018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.277075279803925))-π/2
    2×atan(1.3192656813587)-π/2
    2×0.922196478073649-π/2
    1.8443929561473-1.57079632675     		φ = 0.27359663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64408018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.903076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27359663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.675932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19743 KachelY 14939 0.64408018 0.27359663 36.903076 15.675932
    Oben rechts KachelX + 1 19744 KachelY 14939 0.64427193 0.27359663 36.914062 15.675932
    Unten links KachelX 19743 KachelY + 1 14940 0.64408018 0.27341201 36.903076 15.665354
    Unten rechts KachelX + 1 19744 KachelY + 1 14940 0.64427193 0.27341201 36.914062 15.665354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27359663-0.27341201) × R
    0.000184620000000024 × 6371000     		dl = 1176.21402000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27359663-0.27341201) × R
    0.000184620000000024 × 6371000     		dr = 1176.21402000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64408018-0.64427193) × cos(0.27359663) × R
    0.000191750000000046 × 0.962805330605342 × 6371000     		do = 1176.200781977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64408018-0.64427193) × cos(0.27341201) × R
    0.000191750000000046 × 0.962855197787977 × 6371000     		du = 1176.26170168459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27359663)-sin(0.27341201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.962805330605342-0.962855197787977)×R²
    abs(0.64427193-0.64408018)×4.98671826342223e-05×R²
    0.000191750000000046×4.98671826342223e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.98671826342223e-05×40589641000000     		ar = 1383499.68133316m²