Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19739 / 14934
↖ ↑ ↗
← N 15.728814°
E 36.859131°		 ← 1 175.90 m → N 15.728814°
E 36.870117°		 →
↑
1 175.90 m
↓
↑
1 175.90 m
↓
N 15.718239°
E 36.859131°		 ← 1 175.96 m →
1 382 766 m²		 N 15.718239°
E 36.870117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602401733398438 y=0.455764770507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602401733398438 × 215)
    floor (0.602401733398438 × 32768)
    floor (19739.5)     		tx = 19739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.455764770507812 × 215)
    floor (0.455764770507812 × 32768)
    floor (14934.5)     		ty = 14934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19739 / 14934 ti = "15/19739/14934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19739/14934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19739 ÷ 215
    19739 ÷ 32768     		x = 0.602386474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14934 ÷ 215
    14934 ÷ 32768     		y = 0.45574951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602386474609375 × 2 - 1) × π
    0.20477294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.64331319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45574951171875 × 2 - 1) × π
    0.0885009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.278034017796326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64331319} λ = 0.64331319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.278034017796326))-π/2
    2×atan(1.32053111800365)-π/2
    2×0.922657957258045-π/2
    1.84531591451609-1.57079632675     		φ = 0.27451959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64331319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.859131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27451959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.728814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19739 KachelY 14934 0.64331319 0.27451959 36.859131 15.728814
    Oben rechts KachelX + 1 19740 KachelY 14934 0.64350494 0.27451959 36.870117 15.728814
    Unten links KachelX 19739 KachelY + 1 14935 0.64331319 0.27433502 36.859131 15.718239
    Unten rechts KachelX + 1 19740 KachelY + 1 14935 0.64350494 0.27433502 36.870117 15.718239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27451959-0.27433502) × R
    0.000184569999999995 × 6371000     		dl = 1175.89546999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27451959-0.27433502) × R
    0.000184569999999995 × 6371000     		dr = 1175.89546999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64331319-0.64350494) × cos(0.27451959) × R
    0.000191750000000046 × 0.962555540426336 × 6371000     		do = 1175.89562849006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64331319-0.64350494) × cos(0.27433502) × R
    0.000191750000000046 × 0.962605558105633 × 6371000     		du = 1175.95673205028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27451959)-sin(0.27433502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.962555540426336-0.962605558105633)×R²
    abs(0.64350494-0.64331319)×5.00176792969098e-05×R²
    0.000191750000000046×5.00176792969098e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.00176792969098e-05×40589641000000     		ar = 1382766.27235956m²