Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19737 / 14935
↖ ↑ ↗
← N 15.718239°
E 36.837158°		 ← 1 175.96 m → N 15.718239°
E 36.848145°		 →
↑
1 176.02 m
↓
↑
1 176.02 m
↓
N 15.707663°
E 36.837158°		 ← 1 176.02 m →
1 382 988 m²		 N 15.707663°
E 36.848145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602340698242188 y=0.455795288085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602340698242188 × 215)
    floor (0.602340698242188 × 32768)
    floor (19737.5)     		tx = 19737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.455795288085938 × 215)
    floor (0.455795288085938 × 32768)
    floor (14935.5)     		ty = 14935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19737 / 14935 ti = "15/19737/14935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19737/14935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19737 ÷ 215
    19737 ÷ 32768     		x = 0.602325439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14935 ÷ 215
    14935 ÷ 32768     		y = 0.455780029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602325439453125 × 2 - 1) × π
    0.20465087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.64292970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.455780029296875 × 2 - 1) × π
    0.08843994140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.277842270197845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64292970} λ = 0.64292970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.277842270197845))-π/2
    2×atan(1.32027793360758)-π/2
    2×0.922565671003379-π/2
    1.84513134200676-1.57079632675     		φ = 0.27433502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64292970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.837158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27433502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.718239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19737 KachelY 14935 0.64292970 0.27433502 36.837158 15.718239
    Oben rechts KachelX + 1 19738 KachelY 14935 0.64312145 0.27433502 36.848145 15.718239
    Unten links KachelX 19737 KachelY + 1 14936 0.64292970 0.27415043 36.837158 15.707663
    Unten rechts KachelX + 1 19738 KachelY + 1 14936 0.64312145 0.27415043 36.848145 15.707663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27433502-0.27415043) × R
    0.000184589999999984 × 6371000     		dl = 1176.0228899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27433502-0.27415043) × R
    0.000184589999999984 × 6371000     		dr = 1176.0228899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64292970-0.64312145) × cos(0.27433502) × R
    0.000191749999999935 × 0.962605558105633 × 6371000     		do = 1175.9567320496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64292970-0.64312145) × cos(0.27415043) × R
    0.000191749999999935 × 0.962655548407312 × 6371000     		du = 1176.01780216425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27433502)-sin(0.27415043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.962605558105633-0.962655548407312)×R²
    abs(0.64312145-0.64292970)×4.99903016784042e-05×R²
    0.000191749999999935×4.99903016784042e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.99903016784042e-05×40589641000000     		ar = 1382987.94839315m²