Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19736 / 14961
↖ ↑ ↗
← N 15.443091°
E 36.826172°		 ← 1 177.53 m → N 15.443091°
E 36.837158°		 →
↑
1 177.55 m
↓
↑
1 177.55 m
↓
N 15.432501°
E 36.826172°		 ← 1 177.59 m →
1 386 641 m²		 N 15.432501°
E 36.837158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602310180664062 y=0.456588745117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602310180664062 × 215)
    floor (0.602310180664062 × 32768)
    floor (19736.5)     		tx = 19736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456588745117188 × 215)
    floor (0.456588745117188 × 32768)
    floor (14961.5)     		ty = 14961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19736 / 14961 ti = "15/19736/14961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19736/14961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19736 ÷ 215
    19736 ÷ 32768     		x = 0.602294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14961 ÷ 215
    14961 ÷ 32768     		y = 0.456573486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602294921875 × 2 - 1) × π
    0.20458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.64273795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456573486328125 × 2 - 1) × π
    0.08685302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.27285683263736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64273795} λ = 0.64273795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.27285683263736))-π/2
    2×atan(1.31371215065671)-π/2
    2×0.920164554170672-π/2
    1.84032910834134-1.57079632675     		φ = 0.26953278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64273795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.826172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26953278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.443091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19736 KachelY 14961 0.64273795 0.26953278 36.826172 15.443091
    Oben rechts KachelX + 1 19737 KachelY 14961 0.64292970 0.26953278 36.837158 15.443091
    Unten links KachelX 19736 KachelY + 1 14962 0.64273795 0.26934795 36.826172 15.432501
    Unten rechts KachelX + 1 19737 KachelY + 1 14962 0.64292970 0.26934795 36.837158 15.432501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26953278-0.26934795) × R
    0.000184830000000025 × 6371000     		dl = 1177.55193000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26953278-0.26934795) × R
    0.000184830000000025 × 6371000     		dr = 1177.55193000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64273795-0.64292970) × cos(0.26953278) × R
    0.000191750000000046 × 0.963895413430251 × 6371000     		do = 1177.53246994166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64273795-0.64292970) × cos(0.26934795) × R
    0.000191750000000046 × 0.963944613704015 × 6371000     		du = 1177.5925749272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26953278)-sin(0.26934795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963895413430251-0.963944613704015)×R²
    abs(0.64292970-0.64273795)×4.92002737632058e-05×R²
    0.000191750000000046×4.92002737632058e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.92002737632058e-05×40589641000000     		ar = 1386641.02493624m²