Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1973 / 2419
↖ ↑ ↗
← S 30.977609°
W  6.591797°		 ← 8 379.05 m → S 30.977609°
W  6.503906°		 →
↑
8 375.76 m
↓
↑
8 375.76 m
↓
S 31.052934°
W  6.591797°		 ← 8 372.43 m →
70 153 227 m²		 S 31.052934°
W  6.503906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4818115234375 y=0.5906982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4818115234375 × 212)
    floor (0.4818115234375 × 4096)
    floor (1973.5)     		tx = 1973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5906982421875 × 212)
    floor (0.5906982421875 × 4096)
    floor (2419.5)     		ty = 2419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1973 / 2419 ti = "12/1973/2419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1973/2419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1973 ÷ 212
    1973 ÷ 4096     		x = 0.481689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2419 ÷ 212
    2419 ÷ 4096     		y = 0.590576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481689453125 × 2 - 1) × π
    -0.03662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11504856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590576171875 × 2 - 1) × π
    -0.18115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.569106872289307
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11504856} λ = -0.11504856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.569106872289307))-π/2
    2×atan(0.566030750760454)-π/2
    2×0.515067526867086-π/2
    1.03013505373417-1.57079632675     		φ = -0.54066127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11504856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.591797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54066127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.977609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1973 KachelY 2419 -0.11504856 -0.54066127 -6.591797 -30.977609
    Oben rechts KachelX + 1 1974 KachelY 2419 -0.11351458 -0.54066127 -6.503906 -30.977609
    Unten links KachelX 1973 KachelY + 1 2420 -0.11504856 -0.54197594 -6.591797 -31.052934
    Unten rechts KachelX + 1 1974 KachelY + 1 2420 -0.11351458 -0.54197594 -6.503906 -31.052934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54066127--0.54197594) × R
    0.00131467000000007 × 6371000     		dl = 8375.76257000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54066127--0.54197594) × R
    0.00131467000000007 × 6371000     		dr = 8375.76257000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11504856--0.11351458) × cos(-0.54066127) × R
    0.00153397999999999 × 0.857368511152834 × 6371000     		do = 8379.05095361118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11504856--0.11351458) × cos(-0.54197594) × R
    0.00153397999999999 × 0.856691105761415 × 6371000     		du = 8372.43067981162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54066127)-sin(-0.54197594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857368511152834-0.856691105761415)×R²
    abs(-0.11351458--0.11504856)×0.000677405391419583×R²
    0.00153397999999999×0.000677405391419583×6371000²
    0.00153397999999999×0.000677405391419583×40589641000000     		ar = 70153226.5327848m²