Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1973 / 2418
↖ ↑ ↗
← S 30.902225°
W  6.591797°		 ← 8 385.66 m → S 30.902225°
W  6.503906°		 →
↑
8 382.32 m
↓
↑
8 382.32 m
↓
S 30.977609°
W  6.591797°		 ← 8 379.05 m →
70 263 644 m²		 S 30.977609°
W  6.503906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4818115234375 y=0.5904541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4818115234375 × 212)
    floor (0.4818115234375 × 4096)
    floor (1973.5)     		tx = 1973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5904541015625 × 212)
    floor (0.5904541015625 × 4096)
    floor (2418.5)     		ty = 2418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1973 / 2418 ti = "12/1973/2418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1973/2418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1973 ÷ 212
    1973 ÷ 4096     		x = 0.481689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2418 ÷ 212
    2418 ÷ 4096     		y = 0.59033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481689453125 × 2 - 1) × π
    -0.03662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11504856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59033203125 × 2 - 1) × π
    -0.1806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.567572891501465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11504856} λ = -0.11504856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.567572891501465))-π/2
    2×atan(0.566899697360751)-π/2
    2×0.51572537975622-π/2
    1.03145075951244-1.57079632675     		φ = -0.53934557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11504856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.591797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53934557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.902225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1973 KachelY 2418 -0.11504856 -0.53934557 -6.591797 -30.902225
    Oben rechts KachelX + 1 1974 KachelY 2418 -0.11351458 -0.53934557 -6.503906 -30.902225
    Unten links KachelX 1973 KachelY + 1 2419 -0.11504856 -0.54066127 -6.591797 -30.977609
    Unten rechts KachelX + 1 1974 KachelY + 1 2419 -0.11351458 -0.54066127 -6.503906 -30.977609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53934557--0.54066127) × R
    0.00131569999999992 × 6371000     		dl = 8382.32469999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53934557--0.54066127) × R
    0.00131569999999992 × 6371000     		dr = 8382.32469999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11504856--0.11351458) × cos(-0.53934557) × R
    0.00153397999999999 × 0.858044963687684 × 6371000     		do = 8385.66191515627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11504856--0.11351458) × cos(-0.54066127) × R
    0.00153397999999999 × 0.857368511152834 × 6371000     		du = 8379.05095361118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53934557)-sin(-0.54066127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858044963687684-0.857368511152834)×R²
    abs(-0.11351458--0.11504856)×0.000676452534849603×R²
    0.00153397999999999×0.000676452534849603×6371000²
    0.00153397999999999×0.000676452534849603×40589641000000     		ar = 70263643.5200604m²