Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1973 / 2417
↖ ↑ ↗
← S 30.826781°
W  6.591797°		 ← 8 392.26 m → S 30.826781°
W  6.503906°		 →
↑
8 389.01 m
↓
↑
8 389.01 m
↓
S 30.902225°
W  6.591797°		 ← 8 385.66 m →
70 375 138 m²		 S 30.902225°
W  6.503906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4818115234375 y=0.5902099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4818115234375 × 212)
    floor (0.4818115234375 × 4096)
    floor (1973.5)     		tx = 1973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5902099609375 × 212)
    floor (0.5902099609375 × 4096)
    floor (2417.5)     		ty = 2417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1973 / 2417 ti = "12/1973/2417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1973/2417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1973 ÷ 212
    1973 ÷ 4096     		x = 0.481689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2417 ÷ 212
    2417 ÷ 4096     		y = 0.590087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481689453125 × 2 - 1) × π
    -0.03662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11504856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590087890625 × 2 - 1) × π
    -0.18017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.566038910713623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11504856} λ = -0.11504856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.566038910713623))-π/2
    2×atan(0.567769977931318)-π/2
    2×0.516383751114733-π/2
    1.03276750222947-1.57079632675     		φ = -0.53802882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11504856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.591797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53802882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.826781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1973 KachelY 2417 -0.11504856 -0.53802882 -6.591797 -30.826781
    Oben rechts KachelX + 1 1974 KachelY 2417 -0.11351458 -0.53802882 -6.503906 -30.826781
    Unten links KachelX 1973 KachelY + 1 2418 -0.11504856 -0.53934557 -6.591797 -30.902225
    Unten rechts KachelX + 1 1974 KachelY + 1 2418 -0.11351458 -0.53934557 -6.503906 -30.902225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53802882--0.53934557) × R
    0.00131675000000009 × 6371000     		dl = 8389.01425000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53802882--0.53934557) × R
    0.00131675000000009 × 6371000     		dr = 8389.01425000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11504856--0.11351458) × cos(-0.53802882) × R
    0.00153397999999999 × 0.858720468956848 × 6371000     		do = 8392.26361908653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11504856--0.11351458) × cos(-0.53934557) × R
    0.00153397999999999 × 0.858044963687684 × 6371000     		du = 8385.66191515627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53802882)-sin(-0.53934557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858720468956848-0.858044963687684)×R²
    abs(-0.11351458--0.11504856)×0.000675505269164267×R²
    0.00153397999999999×0.000675505269164267×6371000²
    0.00153397999999999×0.000675505269164267×40589641000000     		ar = 70375138.3643147m²