Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19725 / 20956
↖ ↑ ↗
← S 44.809122°
E 36.705322°		 ← 866.66 m → S 44.809122°
E 36.716308°		 →
↑
866.65 m
↓
↑
866.65 m
↓
S 44.816916°
E 36.705322°		 ← 866.54 m →
751 035 m²		 S 44.816916°
E 36.716308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601974487304688 y=0.639541625976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601974487304688 × 215)
    floor (0.601974487304688 × 32768)
    floor (19725.5)     		tx = 19725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639541625976562 × 215)
    floor (0.639541625976562 × 32768)
    floor (20956.5)     		ty = 20956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19725 / 20956 ti = "15/19725/20956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19725/20956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19725 ÷ 215
    19725 ÷ 32768     		x = 0.601959228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20956 ÷ 215
    20956 ÷ 32768     		y = 0.6395263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.601959228515625 × 2 - 1) × π
    0.20391845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64062873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6395263671875 × 2 - 1) × π
    -0.279052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.876670020251587
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64062873} λ = 0.64062873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.876670020251587))-π/2
    2×atan(0.416166432647406)-π/2
    2×0.394364809109742-π/2
    0.788729618219484-1.57079632675     		φ = -0.78206671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64062873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.705322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78206671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.809122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19725 KachelY 20956 0.64062873 -0.78206671 36.705322 -44.809122
    Oben rechts KachelX + 1 19726 KachelY 20956 0.64082047 -0.78206671 36.716308 -44.809122
    Unten links KachelX 19725 KachelY + 1 20957 0.64062873 -0.78220274 36.705322 -44.816916
    Unten rechts KachelX + 1 19726 KachelY + 1 20957 0.64082047 -0.78220274 36.716308 -44.816916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78206671--0.78220274) × R
    0.000136029999999954 × 6371000     		dl = 866.647129999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78206671--0.78220274) × R
    0.000136029999999954 × 6371000     		dr = 866.647129999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64062873-0.64082047) × cos(-0.78206671) × R
    0.000191739999999996 × 0.709458546180041 × 6371000     		do = 866.65720665748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64062873-0.64082047) × cos(-0.78220274) × R
    0.000191739999999996 × 0.709362672859063 × 6371000     		du = 866.540090153634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78206671)-sin(-0.78220274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709458546180041-0.709362672859063)×R²
    abs(0.64082047-0.64062873)×9.5873320978046e-05×R²
    0.000191739999999996×9.5873320978046e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.5873320978046e-05×40589641000000     		ar = 751035.232659773m²