Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19724 / 20957
↖ ↑ ↗
← S 44.816916°
E 36.694336°		 ← 866.59 m → S 44.816916°
E 36.705322°		 →
↑
866.52 m
↓
↑
866.52 m
↓
S 44.824709°
E 36.694336°		 ← 866.47 m →
750 862 m²		 S 44.824709°
E 36.705322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601943969726562 y=0.639572143554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601943969726562 × 215)
    floor (0.601943969726562 × 32768)
    floor (19724.5)     		tx = 19724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639572143554688 × 215)
    floor (0.639572143554688 × 32768)
    floor (20957.5)     		ty = 20957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19724 / 20957 ti = "15/19724/20957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19724/20957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19724 ÷ 215
    19724 ÷ 32768     		x = 0.6019287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20957 ÷ 215
    20957 ÷ 32768     		y = 0.639556884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6019287109375 × 2 - 1) × π
    0.203857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.64043698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639556884765625 × 2 - 1) × π
    -0.27911376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.876861767850067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64043698} λ = 0.64043698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.876861767850067))-π/2
    2×atan(0.416086641383514)-π/2
    2×0.394296795219214-π/2
    0.788593590438427-1.57079632675     		φ = -0.78220274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64043698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.694336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78220274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.816916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19724 KachelY 20957 0.64043698 -0.78220274 36.694336 -44.816916
    Oben rechts KachelX + 1 19725 KachelY 20957 0.64062873 -0.78220274 36.705322 -44.816916
    Unten links KachelX 19724 KachelY + 1 20958 0.64043698 -0.78233875 36.694336 -44.824709
    Unten rechts KachelX + 1 19725 KachelY + 1 20958 0.64062873 -0.78233875 36.705322 -44.824709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78220274--0.78233875) × R
    0.000136009999999964 × 6371000     		dl = 866.519709999772m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78220274--0.78233875) × R
    0.000136009999999964 × 6371000     		dr = 866.519709999772m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64043698-0.64062873) × cos(-0.78220274) × R
    0.000191749999999935 × 0.709362672859063 × 6371000     		do = 866.585283649248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64043698-0.64062873) × cos(-0.78233875) × R
    0.000191749999999935 × 0.709266800510727 × 6371000     		du = 866.468162225531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78220274)-sin(-0.78233875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709362672859063-0.709266800510727)×R²
    abs(0.64062873-0.64043698)×9.58723483361901e-05×R²
    0.000191749999999935×9.58723483361901e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.58723483361901e-05×40589641000000     		ar = 750862.485824501m²