Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19723 / 20955
↖ ↑ ↗
← S 44.801327°
E 36.683350°		 ← 866.82 m → S 44.801327°
E 36.694336°		 →
↑
866.77 m
↓
↑
866.77 m
↓
S 44.809122°
E 36.683350°		 ← 866.70 m →
751 286 m²		 S 44.809122°
E 36.694336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601913452148438 y=0.639511108398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601913452148438 × 215)
    floor (0.601913452148438 × 32768)
    floor (19723.5)     		tx = 19723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639511108398438 × 215)
    floor (0.639511108398438 × 32768)
    floor (20955.5)     		ty = 20955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19723 / 20955 ti = "15/19723/20955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19723/20955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19723 ÷ 215
    19723 ÷ 32768     		x = 0.601898193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20955 ÷ 215
    20955 ÷ 32768     		y = 0.639495849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.601898193359375 × 2 - 1) × π
    0.20379638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.64024523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639495849609375 × 2 - 1) × π
    -0.27899169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.876478272653107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64024523} λ = 0.64024523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.876478272653107))-π/2
    2×atan(0.416246239212549)-π/2
    2×0.394432832191852-π/2
    0.788865664383704-1.57079632675     		φ = -0.78193066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64024523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.683350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78193066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.801327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19723 KachelY 20955 0.64024523 -0.78193066 36.683350 -44.801327
    Oben rechts KachelX + 1 19724 KachelY 20955 0.64043698 -0.78193066 36.694336 -44.801327
    Unten links KachelX 19723 KachelY + 1 20956 0.64024523 -0.78206671 36.683350 -44.809122
    Unten rechts KachelX + 1 19724 KachelY + 1 20956 0.64043698 -0.78206671 36.694336 -44.809122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78193066--0.78206671) × R
    0.000136050000000054 × 6371000     		dl = 866.774550000345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78193066--0.78206671) × R
    0.000136050000000054 × 6371000     		dr = 866.774550000345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64024523-0.64043698) × cos(-0.78193066) × R
    0.000191750000000046 × 0.709554420466097 × 6371000     		do = 866.819530052596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64024523-0.64043698) × cos(-0.78206671) × R
    0.000191750000000046 × 0.709458546180041 × 6371000     		du = 866.702406261684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78193066)-sin(-0.78206671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709554420466097-0.709458546180041)×R²
    abs(0.64043698-0.64024523)×9.58742860560635e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58742860560635e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58742860560635e-05×40589641000000     		ar = 751286.349291489m²