Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19721 / 15079
↖ ↑ ↗
← N 14.189838°
E 36.661377°		 ← 1 184.30 m → N 14.189838°
E 36.672363°		 →
↑
1 184.43 m
↓
↑
1 184.43 m
↓
N 14.179186°
E 36.661377°		 ← 1 184.36 m →
1 402 761 m²		 N 14.179186°
E 36.672363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601852416992188 y=0.460189819335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601852416992188 × 215)
    floor (0.601852416992188 × 32768)
    floor (19721.5)     		tx = 19721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460189819335938 × 215)
    floor (0.460189819335938 × 32768)
    floor (15079.5)     		ty = 15079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19721 / 15079 ti = "15/19721/15079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19721/15079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19721 ÷ 215
    19721 ÷ 32768     		x = 0.601837158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15079 ÷ 215
    15079 ÷ 32768     		y = 0.460174560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.601837158203125 × 2 - 1) × π
    0.20367431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.63986174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460174560546875 × 2 - 1) × π
    0.07965087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.250230616016693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63986174} λ = 0.63986174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.250230616016693))-π/2
    2×atan(1.28432156766194)-π/2
    2×0.909227855875429-π/2
    1.81845571175086-1.57079632675     		φ = 0.24765939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63986174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.661377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24765939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.189838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19721 KachelY 15079 0.63986174 0.24765939 36.661377 14.189838
    Oben rechts KachelX + 1 19722 KachelY 15079 0.64005348 0.24765939 36.672363 14.189838
    Unten links KachelX 19721 KachelY + 1 15080 0.63986174 0.24747348 36.661377 14.179186
    Unten rechts KachelX + 1 19722 KachelY + 1 15080 0.64005348 0.24747348 36.672363 14.179186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24765939-0.24747348) × R
    0.000185910000000011 × 6371000     		dl = 1184.43261000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24765939-0.24747348) × R
    0.000185910000000011 × 6371000     		dr = 1184.43261000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63986174-0.64005348) × cos(0.24765939) × R
    0.000191739999999996 × 0.969488843292553 × 6371000     		do = 1184.30385726905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63986174-0.64005348) × cos(0.24747348) × R
    0.000191739999999996 × 0.969534399667488 × 6371000     		du = 1184.35950782236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24765939)-sin(0.24747348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969488843292553-0.969534399667488)×R²
    abs(0.64005348-0.63986174)×4.55563749354182e-05×R²
    0.000191739999999996×4.55563749354182e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.55563749354182e-05×40589641000000     		ar = 1402761.06990363m²