Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1972 / 2396
↖ ↑ ↗
← S 29.228890°
W  6.679688°		 ← 8 528.65 m → S 29.228890°
W  6.591797°		 →
↑
8 525.42 m
↓
↑
8 525.42 m
↓
S 29.305561°
W  6.679688°		 ← 8 522.26 m →
72 683 063 m²		 S 29.305561°
W  6.591797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4815673828125 y=0.5850830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4815673828125 × 212)
    floor (0.4815673828125 × 4096)
    floor (1972.5)     		tx = 1972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5850830078125 × 212)
    floor (0.5850830078125 × 4096)
    floor (2396.5)     		ty = 2396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1972 / 2396 ti = "12/1972/2396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1972/2396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1972 ÷ 212
    1972 ÷ 4096     		x = 0.4814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2396 ÷ 212
    2396 ÷ 4096     		y = 0.5849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4814453125 × 2 - 1) × π
    -0.037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11658254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5849609375 × 2 - 1) × π
    -0.169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.533825314168945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11658254} λ = -0.11658254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.533825314168945))-π/2
    2×atan(0.586357671798541)-π/2
    2×0.530327979538989-π/2
    1.06065595907798-1.57079632675     		φ = -0.51014037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11658254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.679688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51014037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.228890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1972 KachelY 2396 -0.11658254 -0.51014037 -6.679688 -29.228890
    Oben rechts KachelX + 1 1973 KachelY 2396 -0.11504856 -0.51014037 -6.591797 -29.228890
    Unten links KachelX 1972 KachelY + 1 2397 -0.11658254 -0.51147853 -6.679688 -29.305561
    Unten rechts KachelX + 1 1973 KachelY + 1 2397 -0.11504856 -0.51147853 -6.591797 -29.305561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51014037--0.51147853) × R
    0.00133815999999998 × 6371000     		dl = 8525.41735999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51014037--0.51147853) × R
    0.00133815999999998 × 6371000     		dr = 8525.41735999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11658254--0.11504856) × cos(-0.51014037) × R
    0.00153398 × 0.872675973607667 × 6371000     		do = 8528.65057875619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11658254--0.11504856) × cos(-0.51147853) × R
    0.00153398 × 0.872021769272083 × 6371000     		du = 8522.25704856395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51014037)-sin(-0.51147853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872675973607667-0.872021769272083)×R²
    abs(-0.11504856--0.11658254)×0.000654204335584385×R²
    0.00153398×0.000654204335584385×6371000²
    0.00153398×0.000654204335584385×40589641000000     		ar = 72683062.7908162m²