Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 197 / 206
↖ ↑ ↗
← N 33.137551°
W 41.484375°		 ← 65.468 km → N 33.137551°
W 40.781250°		 →
↑
65.687 km
↓
↑
65.687 km
↓
N 32.546813°
W 41.484375°		 ← 65.905 km →
4 314.80 km²		 N 32.546813°
W 40.781250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3857421875 y=0.4033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3857421875 × 29)
    floor (0.3857421875 × 512)
    floor (197.5)     		tx = 197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4033203125 × 29)
    floor (0.4033203125 × 512)
    floor (206.5)     		ty = 206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 197 / 206 ti = "9/197/206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/197/206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 197 ÷ 29
    197 ÷ 512     		x = 0.384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 206 ÷ 29
    206 ÷ 512     		y = 0.40234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.384765625 × 2 - 1) × π
    -0.23046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.72403893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40234375 × 2 - 1) × π
    0.1953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.613592315136719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72403893} λ = -0.72403893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.613592315136719))-π/2
    2×atan(1.84705469771943)-π/2
    2×1.07457785056741-π/2
    2.14915570113482-1.57079632675     		φ = 0.57835937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72403893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.484375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57835937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.137551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 197 KachelY 206 -0.72403893 0.57835937 -41.484375 33.137551
    Oben rechts KachelX + 1 198 KachelY 206 -0.71176709 0.57835937 -40.781250 33.137551
    Unten links KachelX 197 KachelY + 1 207 -0.72403893 0.56804905 -41.484375 32.546813
    Unten rechts KachelX + 1 198 KachelY + 1 207 -0.71176709 0.56804905 -40.781250 32.546813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57835937-0.56804905) × R
    0.01031032 × 6371000     		dl = 65687.0487199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57835937-0.56804905) × R
    0.01031032 × 6371000     		dr = 65687.0487199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72403893--0.71176709) × cos(0.57835937) × R
    0.0122718399999999 × 0.837360628284139 × 6371000     		do = 65468.1134627297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72403893--0.71176709) × cos(0.56804905) × R
    0.0122718399999999 × 0.842952167416165 × 6371000     		du = 65905.2817579203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57835937)-sin(0.56804905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837360628284139-0.842952167416165)×R²
    abs(-0.71176709--0.72403893)×0.00559153913202559×R²
    0.0122718399999999×0.00559153913202559×6371000²
    0.0122718399999999×0.00559153913202559×40589641000000     		ar = 4314803529.19125m²