Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19696 / 15058
↖ ↑ ↗
← N 14.413400°
E 36.386719°		 ← 1 183.13 m → N 14.413400°
E 36.397705°		 →
↑
1 183.22 m
↓
↑
1 183.22 m
↓
N 14.402759°
E 36.386719°		 ← 1 183.18 m →
1 399 935 m²		 N 14.402759°
E 36.397705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601089477539062 y=0.459548950195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601089477539062 × 215)
    floor (0.601089477539062 × 32768)
    floor (19696.5)     		tx = 19696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459548950195312 × 215)
    floor (0.459548950195312 × 32768)
    floor (15058.5)     		ty = 15058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19696 / 15058 ti = "15/19696/15058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19696/15058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19696 ÷ 215
    19696 ÷ 32768     		x = 0.60107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15058 ÷ 215
    15058 ÷ 32768     		y = 0.45953369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60107421875 × 2 - 1) × π
    0.2021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.63506805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45953369140625 × 2 - 1) × π
    0.0809326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.254257315584778
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63506805} λ = 0.63506805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.254257315584778))-π/2
    2×atan(1.28950357094704)-π/2
    2×0.9111788080391-π/2
    1.8223576160782-1.57079632675     		φ = 0.25156129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63506805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.386719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25156129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.413400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19696 KachelY 15058 0.63506805 0.25156129 36.386719 14.413400
    Oben rechts KachelX + 1 19697 KachelY 15058 0.63525979 0.25156129 36.397705 14.413400
    Unten links KachelX 19696 KachelY + 1 15059 0.63506805 0.25137557 36.386719 14.402759
    Unten rechts KachelX + 1 19697 KachelY + 1 15059 0.63525979 0.25137557 36.397705 14.402759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25156129-0.25137557) × R
    0.00018572 × 6371000     		dl = 1183.22212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25156129-0.25137557) × R
    0.00018572 × 6371000     		dr = 1183.22212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63506805-0.63525979) × cos(0.25156129) × R
    0.000191739999999996 × 0.96852497161699 × 6371000     		do = 1183.12641520648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63506805-0.63525979) × cos(0.25137557) × R
    0.000191739999999996 × 0.968571183669317 × 6371000     		du = 1183.18286671926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25156129)-sin(0.25137557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96852497161699-0.968571183669317)×R²
    abs(0.63525979-0.63506805)×4.62120523271325e-05×R²
    0.000191739999999996×4.62120523271325e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.62120523271325e-05×40589641000000     		ar = 1399934.74659169m²