Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19680 / 15006
↖ ↑ ↗
← N 14.966013°
E 36.210937°		 ← 1 180.20 m → N 14.966013°
E 36.221924°		 →
↑
1 180.23 m
↓
↑
1 180.23 m
↓
N 14.955399°
E 36.210937°		 ← 1 180.26 m →
1 392 940 m²		 N 14.955399°
E 36.221924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600601196289062 y=0.457962036132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600601196289062 × 215)
    floor (0.600601196289062 × 32768)
    floor (19680.5)     		tx = 19680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457962036132812 × 215)
    floor (0.457962036132812 × 32768)
    floor (15006.5)     		ty = 15006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19680 / 15006 ti = "15/19680/15006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19680/15006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19680 ÷ 215
    19680 ÷ 32768     		x = 0.6005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15006 ÷ 215
    15006 ÷ 32768     		y = 0.45794677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6005859375 × 2 - 1) × π
    0.201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.63200008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45794677734375 × 2 - 1) × π
    0.0841064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.26422819070575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63200008} λ = 0.63200008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.26422819070575))-π/2
    2×atan(1.30242536375712)-π/2
    2×0.916001266962275-π/2
    1.83200253392455-1.57079632675     		φ = 0.26120621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63200008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.210937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26120621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.966013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19680 KachelY 15006 0.63200008 0.26120621 36.210937 14.966013
    Oben rechts KachelX + 1 19681 KachelY 15006 0.63219183 0.26120621 36.221924 14.966013
    Unten links KachelX 19680 KachelY + 1 15007 0.63200008 0.26102096 36.210937 14.955399
    Unten rechts KachelX + 1 19681 KachelY + 1 15007 0.63219183 0.26102096 36.221924 14.955399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26120621-0.26102096) × R
    0.00018524999999997 × 6371000     		dl = 1180.22774999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26120621-0.26102096) × R
    0.00018524999999997 × 6371000     		dr = 1180.22774999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63200008-0.63219183) × cos(0.26120621) × R
    0.000191750000000046 × 0.966079182056339 × 6371000     		do = 1180.2002474082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63200008-0.63219183) × cos(0.26102096) × R
    0.000191750000000046 × 0.966127005557094 × 6371000     		du = 1180.2586704738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26120621)-sin(0.26102096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966079182056339-0.966127005557094)×R²
    abs(0.63219183-0.63200008)×4.78235007550509e-05×R²
    0.000191750000000046×4.78235007550509e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.78235007550509e-05×40589641000000     		ar = 1392939.56279285m²