Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1968 / 1229
↖ ↑ ↗
← N 58.217025°
W  7.031250°		 ← 5 147.46 m → N 58.217025°
W  6.943359°		 →
↑
5 150.83 m
↓
↑
5 150.83 m
↓
N 58.170703°
W  7.031250°		 ← 5 154.18 m →
26 530 985 m²		 N 58.170703°
W  6.943359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4805908203125 y=0.3001708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4805908203125 × 212)
    floor (0.4805908203125 × 4096)
    floor (1968.5)     		tx = 1968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3001708984375 × 212)
    floor (0.3001708984375 × 4096)
    floor (1229.5)     		ty = 1229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1968 / 1229 ti = "12/1968/1229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1968/1229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1968 ÷ 212
    1968 ÷ 4096     		x = 0.48046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1229 ÷ 212
    1229 ÷ 4096     		y = 0.300048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48046875 × 2 - 1) × π
    -0.0390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12271846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300048828125 × 2 - 1) × π
    0.39990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25633026524243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12271846} λ = -0.12271846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25633026524243))-π/2
    2×atan(3.51250783493001)-π/2
    2×1.29343754643111-π/2
    2.58687509286222-1.57079632675     		φ = 1.01607877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12271846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01607877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.217025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1968 KachelY 1229 -0.12271846 1.01607877 -7.031250 58.217025
    Oben rechts KachelX + 1 1969 KachelY 1229 -0.12118448 1.01607877 -6.943359 58.217025
    Unten links KachelX 1968 KachelY + 1 1230 -0.12271846 1.01527029 -7.031250 58.170703
    Unten rechts KachelX + 1 1969 KachelY + 1 1230 -0.12118448 1.01527029 -6.943359 58.170703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01607877-1.01527029) × R
    0.000808480000000111 × 6371000     		dl = 5150.82608000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01607877-1.01527029) × R
    0.000808480000000111 × 6371000     		dr = 5150.82608000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12271846--0.12118448) × cos(1.01607877) × R
    0.00153398 × 0.526703230583894 × 6371000     		do = 5147.46360413905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12271846--0.12118448) × cos(1.01527029) × R
    0.00153398 × 0.527390306179784 × 6371000     		du = 5154.17838471713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01607877)-sin(1.01527029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526703230583894-0.527390306179784)×R²
    abs(-0.12118448--0.12271846)×0.000687075595889985×R²
    0.00153398×0.000687075595889985×6371000²
    0.00153398×0.000687075595889985×40589641000000     		ar = 26530984.5566543m²