Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19679 / 15010
↖ ↑ ↗
← N 14.923554°
E 36.199951°		 ← 1 180.37 m → N 14.923554°
E 36.210937°		 →
↑
1 180.42 m
↓
↑
1 180.42 m
↓
N 14.912939°
E 36.199951°		 ← 1 180.43 m →
1 393 368 m²		 N 14.912939°
E 36.210937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600570678710938 y=0.458084106445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600570678710938 × 215)
    floor (0.600570678710938 × 32768)
    floor (19679.5)     		tx = 19679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458084106445312 × 215)
    floor (0.458084106445312 × 32768)
    floor (15010.5)     		ty = 15010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19679 / 15010 ti = "15/19679/15010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19679/15010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19679 ÷ 215
    19679 ÷ 32768     		x = 0.600555419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15010 ÷ 215
    15010 ÷ 32768     		y = 0.45806884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.600555419921875 × 2 - 1) × π
    0.20111083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.63180834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45806884765625 × 2 - 1) × π
    0.0838623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.263461200311829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63180834} λ = 0.63180834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.263461200311829))-π/2
    2×atan(1.30142679900806)-π/2
    2×0.915630743575711-π/2
    1.83126148715142-1.57079632675     		φ = 0.26046516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63180834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.199951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26046516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.923554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19679 KachelY 15010 0.63180834 0.26046516 36.199951 14.923554
    Oben rechts KachelX + 1 19680 KachelY 15010 0.63200008 0.26046516 36.210937 14.923554
    Unten links KachelX 19679 KachelY + 1 15011 0.63180834 0.26027988 36.199951 14.912939
    Unten rechts KachelX + 1 19680 KachelY + 1 15011 0.63200008 0.26027988 36.210937 14.912939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26046516-0.26027988) × R
    0.000185279999999954 × 6371000     		dl = 1180.41887999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26046516-0.26027988) × R
    0.000185279999999954 × 6371000     		dr = 1180.41887999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63180834-0.63200008) × cos(0.26046516) × R
    0.000191739999999996 × 0.966270289998561 × 6371000     		do = 1180.37215129092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63180834-0.63200008) × cos(0.26027988) × R
    0.000191739999999996 × 0.966317988580566 × 6371000     		du = 1180.43041871199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26046516)-sin(0.26027988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966270289998561-0.966317988580566)×R²
    abs(0.63200008-0.63180834)×4.76985820047071e-05×R²
    0.000191739999999996×4.76985820047071e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.76985820047071e-05×40589641000000     		ar = 1393367.96677765m²