Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19672 / 14865
↖ ↑ ↗
← N 16.457159°
E 36.123047°		 ← 1 171.59 m → N 16.457159°
E 36.134033°		 →
↑
1 171.63 m
↓
↑
1 171.63 m
↓
N 16.446622°
E 36.123047°		 ← 1 171.65 m →
1 372 705 m²		 N 16.446622°
E 36.134033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600357055664062 y=0.453659057617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600357055664062 × 215)
    floor (0.600357055664062 × 32768)
    floor (19672.5)     		tx = 19672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453659057617188 × 215)
    floor (0.453659057617188 × 32768)
    floor (14865.5)     		ty = 14865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19672 / 14865 ti = "15/19672/14865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19672/14865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19672 ÷ 215
    19672 ÷ 32768     		x = 0.600341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14865 ÷ 215
    14865 ÷ 32768     		y = 0.453643798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.600341796875 × 2 - 1) × π
    0.20068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.63046610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.453643798828125 × 2 - 1) × π
    0.09271240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.291264602091461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63046610} λ = 0.63046610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.291264602091461))-π/2
    2×atan(1.33811860609227)-π/2
    2×0.929013966651563-π/2
    1.85802793330313-1.57079632675     		φ = 0.28723161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63046610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.123047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28723161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.457159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19672 KachelY 14865 0.63046610 0.28723161 36.123047 16.457159
    Oben rechts KachelX + 1 19673 KachelY 14865 0.63065785 0.28723161 36.134033 16.457159
    Unten links KachelX 19672 KachelY + 1 14866 0.63046610 0.28704771 36.123047 16.446622
    Unten rechts KachelX + 1 19673 KachelY + 1 14866 0.63065785 0.28704771 36.134033 16.446622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28723161-0.28704771) × R
    0.000183900000000015 × 6371000     		dl = 1171.62690000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28723161-0.28704771) × R
    0.000183900000000015 × 6371000     		dr = 1171.62690000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63046610-0.63065785) × cos(0.28723161) × R
    0.000191749999999935 × 0.959031829801853 × 6371000     		do = 1171.59092528487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63046610-0.63065785) × cos(0.28704771) × R
    0.000191749999999935 × 0.95908391214943 × 6371000     		du = 1171.6545511249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28723161)-sin(0.28704771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959031829801853-0.95908391214943)×R²
    abs(0.63065785-0.63046610)×5.20823475764765e-05×R²
    0.000191749999999935×5.20823475764765e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.20823475764765e-05×40589641000000     		ar = 1372704.7206013m²