Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19664 / 21014
↖ ↑ ↗
← S 45.259422°
E 36.035156°		 ← 859.91 m → S 45.259422°
E 36.046143°		 →
↑
859.83 m
↓
↑
859.83 m
↓
S 45.267155°
E 36.035156°		 ← 859.79 m →
739 326 m²		 S 45.267155°
E 36.046143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600112915039062 y=0.641311645507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600112915039062 × 215)
    floor (0.600112915039062 × 32768)
    floor (19664.5)     		tx = 19664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641311645507812 × 215)
    floor (0.641311645507812 × 32768)
    floor (21014.5)     		ty = 21014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19664 / 21014 ti = "15/19664/21014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19664/21014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19664 ÷ 215
    19664 ÷ 32768     		x = 0.60009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21014 ÷ 215
    21014 ÷ 32768     		y = 0.64129638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60009765625 × 2 - 1) × π
    0.2001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.62893212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64129638671875 × 2 - 1) × π
    -0.2825927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.88779138096344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62893212} λ = 0.62893212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.88779138096344))-π/2
    2×atan(0.411563737192111)-π/2
    2×0.390435197364372-π/2
    0.780870394728744-1.57079632675     		φ = -0.78992593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62893212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.035156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78992593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.259422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19664 KachelY 21014 0.62893212 -0.78992593 36.035156 -45.259422
    Oben rechts KachelX + 1 19665 KachelY 21014 0.62912387 -0.78992593 36.046143 -45.259422
    Unten links KachelX 19664 KachelY + 1 21015 0.62893212 -0.79006089 36.035156 -45.267155
    Unten rechts KachelX + 1 19665 KachelY + 1 21015 0.62912387 -0.79006089 36.046143 -45.267155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78992593--0.79006089) × R
    0.000134960000000017 × 6371000     		dl = 859.83016000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78992593--0.79006089) × R
    0.000134960000000017 × 6371000     		dr = 859.83016000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62893212-0.62912387) × cos(-0.78992593) × R
    0.000191750000000046 × 0.7038979295883 × 6371000     		do = 859.90933877901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62893212-0.62912387) × cos(-0.79006089) × R
    0.000191750000000046 × 0.70380206093672 × 6371000     		du = 859.792221871395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78992593)-sin(-0.79006089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7038979295883-0.70380206093672)×R²
    abs(0.62912387-0.62893212)×9.58686515802887e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58686515802887e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58686515802887e-05×40589641000000     		ar = 739325.635144816m²