Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1966 / 834
↖ ↑ ↗
← N 72.342464°
W  7.207031°		 ← 2 964.41 m → N 72.342464°
W  7.119140°		 →
↑
2 966.59 m
↓
↑
2 966.59 m
↓
N 72.315785°
W  7.207031°		 ← 2 968.75 m →
8 800 628 m²		 N 72.315785°
W  7.119140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4801025390625 y=0.2037353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4801025390625 × 212)
    floor (0.4801025390625 × 4096)
    floor (1966.5)     		tx = 1966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2037353515625 × 212)
    floor (0.2037353515625 × 4096)
    floor (834.5)     		ty = 834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1966 / 834 ti = "12/1966/834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1966/834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1966 ÷ 212
    1966 ÷ 4096     		x = 0.47998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 834 ÷ 212
    834 ÷ 4096     		y = 0.20361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47998046875 × 2 - 1) × π
    -0.0400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12578642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20361328125 × 2 - 1) × π
    0.5927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.86225267643994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12578642} λ = -0.12578642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86225267643994))-π/2
    2×atan(6.43822368294644)-π/2
    2×1.4167052597003-π/2
    2.8334105194006-1.57079632675     		φ = 1.26261419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12578642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26261419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.342464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1966 KachelY 834 -0.12578642 1.26261419 -7.207031 72.342464
    Oben rechts KachelX + 1 1967 KachelY 834 -0.12425244 1.26261419 -7.119140 72.342464
    Unten links KachelX 1966 KachelY + 1 835 -0.12578642 1.26214855 -7.207031 72.315785
    Unten rechts KachelX + 1 1967 KachelY + 1 835 -0.12425244 1.26214855 -7.119140 72.315785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26261419-1.26214855) × R
    0.000465640000000045 × 6371000     		dl = 2966.59244000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26261419-1.26214855) × R
    0.000465640000000045 × 6371000     		dr = 2966.59244000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12578642--0.12425244) × cos(1.26261419) × R
    0.00153398 × 0.303326921188956 × 6371000     		do = 2964.4099301324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12578642--0.12425244) × cos(1.26214855) × R
    0.00153398 × 0.303770590382719 × 6371000     		du = 2968.745903209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26261419)-sin(1.26214855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.303326921188956-0.303770590382719)×R²
    abs(-0.12425244--0.12578642)×0.000443669193762763×R²
    0.00153398×0.000443669193762763×6371000²
    0.00153398×0.000443669193762763×40589641000000     		ar = 8800627.779279m²