Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1966 / 1239
↖ ↑ ↗
← N 57.751076°
W  7.207031°		 ← 5 214.85 m → N 57.751076°
W  7.119140°		 →
↑
5 218.23 m
↓
↑
5 218.23 m
↓
N 57.704147°
W  7.207031°		 ← 5 221.62 m →
27 229 966 m²		 N 57.704147°
W  7.119140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4801025390625 y=0.3026123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4801025390625 × 212)
    floor (0.4801025390625 × 4096)
    floor (1966.5)     		tx = 1966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3026123046875 × 212)
    floor (0.3026123046875 × 4096)
    floor (1239.5)     		ty = 1239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1966 / 1239 ti = "12/1966/1239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1966/1239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1966 ÷ 212
    1966 ÷ 4096     		x = 0.47998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1239 ÷ 212
    1239 ÷ 4096     		y = 0.302490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47998046875 × 2 - 1) × π
    -0.0400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12578642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302490234375 × 2 - 1) × π
    0.39501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24099045736401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12578642} λ = -0.12578642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24099045736401))-π/2
    2×atan(3.45903779811419)-π/2
    2×1.28937137460972-π/2
    2.57874274921944-1.57079632675     		φ = 1.00794642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12578642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00794642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.751076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1966 KachelY 1239 -0.12578642 1.00794642 -7.207031 57.751076
    Oben rechts KachelX + 1 1967 KachelY 1239 -0.12425244 1.00794642 -7.119140 57.751076
    Unten links KachelX 1966 KachelY + 1 1240 -0.12578642 1.00712736 -7.207031 57.704147
    Unten rechts KachelX + 1 1967 KachelY + 1 1240 -0.12425244 1.00712736 -7.119140 57.704147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00794642-1.00712736) × R
    0.000819059999999983 × 6371000     		dl = 5218.23125999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00794642-1.00712736) × R
    0.000819059999999983 × 6371000     		dr = 5218.23125999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12578642--0.12425244) × cos(1.00794642) × R
    0.00153398 × 0.533598635612837 × 6371000     		do = 5214.85230495058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12578642--0.12425244) × cos(1.00712736) × R
    0.00153398 × 0.534291166586826 × 6371000     		du = 5221.62040086561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00794642)-sin(1.00712736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533598635612837-0.534291166586826)×R²
    abs(-0.12425244--0.12578642)×0.000692530973988914×R²
    0.00153398×0.000692530973988914×6371000²
    0.00153398×0.000692530973988914×40589641000000     		ar = 27229965.5810973m²