Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19658 / 20679
↖ ↑ ↗
← S 42.609706°
E 35.969238°		 ← 899.10 m → S 42.609706°
E 35.980225°		 →
↑
899.01 m
↓
↑
899.01 m
↓
S 42.617791°
E 35.969238°		 ← 898.99 m →
808 254 m²		 S 42.617791°
E 35.980225°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599929809570312 y=0.631088256835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599929809570312 × 215)
    floor (0.599929809570312 × 32768)
    floor (19658.5)     		tx = 19658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631088256835938 × 215)
    floor (0.631088256835938 × 32768)
    floor (20679.5)     		ty = 20679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19658 / 20679 ti = "15/19658/20679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19658/20679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19658 ÷ 215
    19658 ÷ 32768     		x = 0.59991455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20679 ÷ 215
    20679 ÷ 32768     		y = 0.631072998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59991455078125 × 2 - 1) × π
    0.1998291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.62778164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631072998046875 × 2 - 1) × π
    -0.26214599609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.823555935472565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62778164} λ = 0.62778164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.823555935472565))-π/2
    2×atan(0.438868289222888)-π/2
    2×0.413558330040504-π/2
    0.827116660081009-1.57079632675     		φ = -0.74367967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62778164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.969238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74367967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.609706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19658 KachelY 20679 0.62778164 -0.74367967 35.969238 -42.609706
    Oben rechts KachelX + 1 19659 KachelY 20679 0.62797339 -0.74367967 35.980225 -42.609706
    Unten links KachelX 19658 KachelY + 1 20680 0.62778164 -0.74382078 35.969238 -42.617791
    Unten rechts KachelX + 1 19659 KachelY + 1 20680 0.62797339 -0.74382078 35.980225 -42.617791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74367967--0.74382078) × R
    0.000141109999999944 × 6371000     		dl = 899.011809999645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74367967--0.74382078) × R
    0.000141109999999944 × 6371000     		dr = 899.011809999645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62778164-0.62797339) × cos(-0.74367967) × R
    0.000191749999999935 × 0.735982407913028 × 6371000     		do = 899.104996815761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62778164-0.62797339) × cos(-0.74382078) × R
    0.000191749999999935 × 0.735886869022593 × 6371000     		du = 898.988282757304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74367967)-sin(-0.74382078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735982407913028-0.735886869022593)×R²
    abs(0.62797339-0.62778164)×9.55388904351206e-05×R²
    0.000191749999999935×9.55388904351206e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.55388904351206e-05×40589641000000     		ar = 808253.548249568m²