Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 19658 / 15174
↖ ↑ ↗
← N 69.025347°
W 72.015381°		 ← 218.66 m → N 69.025347°
W 72.009887°		 →
↑
218.65 m
↓
↑
218.65 m
↓
N 69.023380°
W 72.015381°		 ← 218.68 m →
47 812 m²		 N 69.023380°
W 72.009887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.299964904785156 y=0.231544494628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.299964904785156 × 216)
    floor (0.299964904785156 × 65536)
    floor (19658.5)     		tx = 19658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231544494628906 × 216)
    floor (0.231544494628906 × 65536)
    floor (15174.5)     		ty = 15174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 19658 / 15174 ti = "16/19658/15174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/19658/15174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19658 ÷ 216
    19658 ÷ 65536     		x = 0.299957275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15174 ÷ 216
    15174 ÷ 65536     		y = 0.231536865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.299957275390625 × 2 - 1) × π
    -0.40008544921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.25690551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231536865234375 × 2 - 1) × π
    0.53692626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.68680362383054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.25690551} λ = -1.25690551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68680362383054))-π/2
    2×atan(5.40218566161196)-π/2
    2×1.38775795007032-π/2
    2.77551590014065-1.57079632675     		φ = 1.20471957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.25690551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -72.015381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20471957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.025347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19658 KachelY 15174 -1.25690551 1.20471957 -72.015381 69.025347
    Oben rechts KachelX + 1 19659 KachelY 15174 -1.25680963 1.20471957 -72.009887 69.025347
    Unten links KachelX 19658 KachelY + 1 15175 -1.25690551 1.20468525 -72.015381 69.023380
    Unten rechts KachelX + 1 19659 KachelY + 1 15175 -1.25680963 1.20468525 -72.009887 69.023380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20471957-1.20468525) × R
    3.43199999999211e-05 × 6371000     		dl = 218.652719999497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20471957-1.20468525) × R
    3.43199999999211e-05 × 6371000     		dr = 218.652719999497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.25690551--1.25680963) × cos(1.20471957) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.357954911465247 × 6371000     		do = 218.657287441672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.25690551--1.25680963) × cos(1.20468525) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.357986957172522 × 6371000     		du = 218.676862609388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20471957)-sin(1.20468525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357954911465247-0.357986957172522)×R²
    abs(-1.25680963--1.25690551)×3.20457072749414e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.20457072749414e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.20457072749414e-05×40589641000000     		ar = 47812.1507334232m²