Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19657 / 20683
↖ ↑ ↗
← S 42.642041°
E 35.958252°		 ← 898.64 m → S 42.642041°
E 35.969238°		 →
↑
898.57 m
↓
↑
898.57 m
↓
S 42.650122°
E 35.958252°		 ← 898.52 m →
807 433 m²		 S 42.650122°
E 35.969238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599899291992188 y=0.631210327148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599899291992188 × 215)
    floor (0.599899291992188 × 32768)
    floor (19657.5)     		tx = 19657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631210327148438 × 215)
    floor (0.631210327148438 × 32768)
    floor (20683.5)     		ty = 20683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19657 / 20683 ti = "15/19657/20683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19657/20683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19657 ÷ 215
    19657 ÷ 32768     		x = 0.599884033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20683 ÷ 215
    20683 ÷ 32768     		y = 0.631195068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599884033203125 × 2 - 1) × π
    0.19976806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.62758989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631195068359375 × 2 - 1) × π
    -0.26239013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.824322925866486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62758989} λ = 0.62758989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.824322925866486))-π/2
    2×atan(0.438531810515321)-π/2
    2×0.413276157601936-π/2
    0.826552315203872-1.57079632675     		φ = -0.74424401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62758989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.958252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74424401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.642041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19657 KachelY 20683 0.62758989 -0.74424401 35.958252 -42.642041
    Oben rechts KachelX + 1 19658 KachelY 20683 0.62778164 -0.74424401 35.969238 -42.642041
    Unten links KachelX 19657 KachelY + 1 20684 0.62758989 -0.74438505 35.958252 -42.650122
    Unten rechts KachelX + 1 19658 KachelY + 1 20684 0.62778164 -0.74438505 35.969238 -42.650122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74424401--0.74438505) × R
    0.000141040000000037 × 6371000     		dl = 898.565840000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74424401--0.74438505) × R
    0.000141040000000037 × 6371000     		dr = 898.565840000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62758989-0.62778164) × cos(-0.74424401) × R
    0.000191750000000046 × 0.735600232182474 × 6371000     		do = 898.638115943439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62758989-0.62778164) × cos(-0.74438505) × R
    0.000191750000000046 × 0.7355046821282 × 6371000     		du = 898.521388246799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74424401)-sin(-0.74438505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735600232182474-0.7355046821282)×R²
    abs(0.62778164-0.62758989)×9.5550054273863e-05×R²
    0.000191750000000046×9.5550054273863e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.5550054273863e-05×40589641000000     		ar = 807433.071086466m²