Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19654 / 20702
↖ ↑ ↗
← S 42.795401°
E 35.925293°		 ← 896.37 m → S 42.795401°
E 35.936279°		 →
↑
896.34 m
↓
↑
896.34 m
↓
S 42.803462°
E 35.925293°		 ← 896.26 m →
803 399 m²		 S 42.803462°
E 35.936279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599807739257812 y=0.631790161132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599807739257812 × 215)
    floor (0.599807739257812 × 32768)
    floor (19654.5)     		tx = 19654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631790161132812 × 215)
    floor (0.631790161132812 × 32768)
    floor (20702.5)     		ty = 20702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19654 / 20702 ti = "15/19654/20702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19654/20702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19654 ÷ 215
    19654 ÷ 32768     		x = 0.59979248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20702 ÷ 215
    20702 ÷ 32768     		y = 0.63177490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59979248046875 × 2 - 1) × π
    0.1995849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.62701465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63177490234375 × 2 - 1) × π
    -0.2635498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.82796613023761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62701465} λ = 0.62701465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.82796613023761))-π/2
    2×atan(0.436937056278101)-π/2
    2×0.411937840353315-π/2
    0.823875680706631-1.57079632675     		φ = -0.74692065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62701465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.925293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74692065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.795401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19654 KachelY 20702 0.62701465 -0.74692065 35.925293 -42.795401
    Oben rechts KachelX + 1 19655 KachelY 20702 0.62720639 -0.74692065 35.936279 -42.795401
    Unten links KachelX 19654 KachelY + 1 20703 0.62701465 -0.74706134 35.925293 -42.803462
    Unten rechts KachelX + 1 19655 KachelY + 1 20703 0.62720639 -0.74706134 35.936279 -42.803462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74692065--0.74706134) × R
    0.000140690000000054 × 6371000     		dl = 896.335990000346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74692065--0.74706134) × R
    0.000140690000000054 × 6371000     		dr = 896.335990000346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62701465-0.62720639) × cos(-0.74692065) × R
    0.000191739999999996 × 0.73378440079302 × 6371000     		do = 896.37307564229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62701465-0.62720639) × cos(-0.74706134) × R
    0.000191739999999996 × 0.733688811220534 × 6371000     		du = 896.256305758663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74692065)-sin(-0.74706134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73378440079302-0.733688811220534)×R²
    abs(0.62720639-0.62701465)×9.5589572485677e-05×R²
    0.000191739999999996×9.5589572485677e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.5589572485677e-05×40589641000000     		ar = 803399.116965563m²