Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1965 / 833
↖ ↑ ↗
← N 72.369104°
W  7.294922°		 ← 2 960.10 m → N 72.369104°
W  7.207031°		 →
↑
2 962.26 m
↓
↑
2 962.26 m
↓
N 72.342464°
W  7.294922°		 ← 2 964.43 m →
8 774 997 m²		 N 72.342464°
W  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4798583984375 y=0.2034912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4798583984375 × 212)
    floor (0.4798583984375 × 4096)
    floor (1965.5)     		tx = 1965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2034912109375 × 212)
    floor (0.2034912109375 × 4096)
    floor (833.5)     		ty = 833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1965 / 833 ti = "12/1965/833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1965/833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1965 ÷ 212
    1965 ÷ 4096     		x = 0.479736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 833 ÷ 212
    833 ÷ 4096     		y = 0.203369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479736328125 × 2 - 1) × π
    -0.04052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12732041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.203369140625 × 2 - 1) × π
    0.59326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.86378665722778
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12732041} λ = -0.12732041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86378665722778))-π/2
    2×atan(6.44810737314123)-π/2
    2×1.41693773857508-π/2
    2.83387547715016-1.57079632675     		φ = 1.26307915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12732041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.294922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26307915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.369104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1965 KachelY 833 -0.12732041 1.26307915 -7.294922 72.369104
    Oben rechts KachelX + 1 1966 KachelY 833 -0.12578642 1.26307915 -7.207031 72.369104
    Unten links KachelX 1965 KachelY + 1 834 -0.12732041 1.26261419 -7.294922 72.342464
    Unten rechts KachelX + 1 1966 KachelY + 1 834 -0.12578642 1.26261419 -7.207031 72.342464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26307915-1.26261419) × R
    0.000464959999999959 × 6371000     		dl = 2962.26015999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26307915-1.26261419) × R
    0.000464959999999959 × 6371000     		dr = 2962.26015999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12732041--0.12578642) × cos(1.26307915) × R
    0.00153398999999999 × 0.302883834286425 × 6371000     		do = 2960.09894450923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12732041--0.12578642) × cos(1.26261419) × R
    0.00153398999999999 × 0.303326921188956 × 6371000     		du = 2964.42925509051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26307915)-sin(1.26261419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302883834286425-0.303326921188956)×R²
    abs(-0.12578642--0.12732041)×0.000443086902531142×R²
    0.00153398999999999×0.000443086902531142×6371000²
    0.00153398999999999×0.000443086902531142×40589641000000     		ar = 8774997.08432331m²