Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1965 / 2469
↖ ↑ ↗
← S 34.669359°
W  7.294922°		 ← 8 037.83 m → S 34.669359°
W  7.207031°		 →
↑
8 034.28 m
↓
↑
8 034.28 m
↓
S 34.741613°
W  7.294922°		 ← 8 030.81 m →
64 549 967 m²		 S 34.741613°
W  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4798583984375 y=0.6029052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4798583984375 × 212)
    floor (0.4798583984375 × 4096)
    floor (1965.5)     		tx = 1965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6029052734375 × 212)
    floor (0.6029052734375 × 4096)
    floor (2469.5)     		ty = 2469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1965 / 2469 ti = "12/1965/2469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1965/2469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1965 ÷ 212
    1965 ÷ 4096     		x = 0.479736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2469 ÷ 212
    2469 ÷ 4096     		y = 0.602783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479736328125 × 2 - 1) × π
    -0.04052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12732041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602783203125 × 2 - 1) × π
    -0.20556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.645805911681396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12732041} λ = -0.12732041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.645805911681396))-π/2
    2×atan(0.524239880771848)-π/2
    2×0.482850935320557-π/2
    0.965701870641113-1.57079632675     		φ = -0.60509446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12732041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.294922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60509446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.669359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1965 KachelY 2469 -0.12732041 -0.60509446 -7.294922 -34.669359
    Oben rechts KachelX + 1 1966 KachelY 2469 -0.12578642 -0.60509446 -7.207031 -34.669359
    Unten links KachelX 1965 KachelY + 1 2470 -0.12732041 -0.60635553 -7.294922 -34.741613
    Unten rechts KachelX + 1 1966 KachelY + 1 2470 -0.12578642 -0.60635553 -7.207031 -34.741613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60509446--0.60635553) × R
    0.00126106999999998 × 6371000     		dl = 8034.27696999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60509446--0.60635553) × R
    0.00126106999999998 × 6371000     		dr = 8034.27696999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12732041--0.12578642) × cos(-0.60509446) × R
    0.00153398999999999 × 0.82244836869727 × 6371000     		do = 8037.82926820681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12732041--0.12578642) × cos(-0.60635553) × R
    0.00153398999999999 × 0.821730368153368 × 6371000     		du = 8030.812212783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60509446)-sin(-0.60635553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82244836869727-0.821730368153368)×R²
    abs(-0.12578642--0.12732041)×0.000718000543902142×R²
    0.00153398999999999×0.000718000543902142×6371000²
    0.00153398999999999×0.000718000543902142×40589641000000     		ar = 64549966.6494176m²