Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1965 / 1235
↖ ↑ ↗
← N 57.938183°
W  7.294922°		 ← 5 187.87 m → N 57.938183°
W  7.207031°		 →
↑
5 191.22 m
↓
↑
5 191.22 m
↓
N 57.891497°
W  7.294922°		 ← 5 194.61 m →
26 948 862 m²		 N 57.891497°
W  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4798583984375 y=0.3016357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4798583984375 × 212)
    floor (0.4798583984375 × 4096)
    floor (1965.5)     		tx = 1965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3016357421875 × 212)
    floor (0.3016357421875 × 4096)
    floor (1235.5)     		ty = 1235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1965 / 1235 ti = "12/1965/1235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1965/1235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1965 ÷ 212
    1965 ÷ 4096     		x = 0.479736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1235 ÷ 212
    1235 ÷ 4096     		y = 0.301513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479736328125 × 2 - 1) × π
    -0.04052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12732041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301513671875 × 2 - 1) × π
    0.39697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24712638051538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12732041} λ = -0.12732041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24712638051538))-π/2
    2×atan(3.48032743722042)-π/2
    2×1.291004191481-π/2
    2.582008382962-1.57079632675     		φ = 1.01121206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12732041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.294922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01121206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.938183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1965 KachelY 1235 -0.12732041 1.01121206 -7.294922 57.938183
    Oben rechts KachelX + 1 1966 KachelY 1235 -0.12578642 1.01121206 -7.207031 57.938183
    Unten links KachelX 1965 KachelY + 1 1236 -0.12732041 1.01039724 -7.294922 57.891497
    Unten rechts KachelX + 1 1966 KachelY + 1 1236 -0.12578642 1.01039724 -7.207031 57.891497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01121206-1.01039724) × R
    0.000814819999999994 × 6371000     		dl = 5191.21821999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01121206-1.01039724) × R
    0.000814819999999994 × 6371000     		dr = 5191.21821999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12732041--0.12578642) × cos(1.01121206) × R
    0.00153398999999999 × 0.530833919944645 × 6371000     		do = 5187.8665952568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12732041--0.12578642) × cos(1.01039724) × R
    0.00153398999999999 × 0.531524283937538 × 6371000     		du = 5194.61355727775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01121206)-sin(1.01039724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530833919944645-0.531524283937538)×R²
    abs(-0.12578642--0.12732041)×0.000690363992893017×R²
    0.00153398999999999×0.000690363992893017×6371000²
    0.00153398999999999×0.000690363992893017×40589641000000     		ar = 26948861.5593258m²