Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1965 / 1213
↖ ↑ ↗
← N 58.950008°
W  7.294922°		 ← 5 040.80 m → N 58.950008°
W  7.207031°		 →
↑
5 044.11 m
↓
↑
5 044.11 m
↓
N 58.904646°
W  7.294922°		 ← 5 047.43 m →
25 443 076 m²		 N 58.904646°
W  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4798583984375 y=0.2962646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4798583984375 × 212)
    floor (0.4798583984375 × 4096)
    floor (1965.5)     		tx = 1965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2962646484375 × 212)
    floor (0.2962646484375 × 4096)
    floor (1213.5)     		ty = 1213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1965 / 1213 ti = "12/1965/1213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1965/1213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1965 ÷ 212
    1965 ÷ 4096     		x = 0.479736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1213 ÷ 212
    1213 ÷ 4096     		y = 0.296142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479736328125 × 2 - 1) × π
    -0.04052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12732041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296142578125 × 2 - 1) × π
    0.40771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.2808739578479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12732041} λ = -0.12732041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2808739578479))-π/2
    2×atan(3.59978441104463)-π/2
    2×1.29983403226293-π/2
    2.59966806452586-1.57079632675     		φ = 1.02887174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12732041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.294922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02887174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.950008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1965 KachelY 1213 -0.12732041 1.02887174 -7.294922 58.950008
    Oben rechts KachelX + 1 1966 KachelY 1213 -0.12578642 1.02887174 -7.207031 58.950008
    Unten links KachelX 1965 KachelY + 1 1214 -0.12732041 1.02808001 -7.294922 58.904646
    Unten rechts KachelX + 1 1966 KachelY + 1 1214 -0.12578642 1.02808001 -7.207031 58.904646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02887174-1.02808001) × R
    0.00079172999999999 × 6371000     		dl = 5044.11182999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02887174-1.02808001) × R
    0.00079172999999999 × 6371000     		dr = 5044.11182999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12732041--0.12578642) × cos(1.02887174) × R
    0.00153398999999999 × 0.515785773247683 × 6371000     		do = 5040.80030081609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12732041--0.12578642) × cos(1.02808001) × R
    0.00153398999999999 × 0.516463900540993 × 6371000     		du = 5047.42767295664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02887174)-sin(1.02808001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515785773247683-0.516463900540993)×R²
    abs(-0.12578642--0.12732041)×0.000678127293310293×R²
    0.00153398999999999×0.000678127293310293×6371000²
    0.00153398999999999×0.000678127293310293×40589641000000     		ar = 25443076.3621717m²