Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1965 / 1210
↖ ↑ ↗
← N 59.085739°
W  7.294922°		 ← 5 020.95 m → N 59.085739°
W  7.207031°		 →
↑
5 024.23 m
↓
↑
5 024.23 m
↓
N 59.040555°
W  7.294922°		 ← 5 027.56 m →
25 243 046 m²		 N 59.040555°
W  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4798583984375 y=0.2955322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4798583984375 × 212)
    floor (0.4798583984375 × 4096)
    floor (1965.5)     		tx = 1965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2955322265625 × 212)
    floor (0.2955322265625 × 4096)
    floor (1210.5)     		ty = 1210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1965 / 1210 ti = "12/1965/1210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1965/1210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1965 ÷ 212
    1965 ÷ 4096     		x = 0.479736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1210 ÷ 212
    1210 ÷ 4096     		y = 0.29541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479736328125 × 2 - 1) × π
    -0.04052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12732041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29541015625 × 2 - 1) × π
    0.4091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.28547590021143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12732041} λ = -0.12732041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28547590021143))-π/2
    2×atan(3.61638858785429)-π/2
    2×1.30101850289599-π/2
    2.60203700579198-1.57079632675     		φ = 1.03124068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12732041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.294922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03124068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.085739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1965 KachelY 1210 -0.12732041 1.03124068 -7.294922 59.085739
    Oben rechts KachelX + 1 1966 KachelY 1210 -0.12578642 1.03124068 -7.207031 59.085739
    Unten links KachelX 1965 KachelY + 1 1211 -0.12732041 1.03045207 -7.294922 59.040555
    Unten rechts KachelX + 1 1966 KachelY + 1 1211 -0.12578642 1.03045207 -7.207031 59.040555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03124068-1.03045207) × R
    0.000788610000000078 × 6371000     		dl = 5024.2343100005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03124068-1.03045207) × R
    0.000788610000000078 × 6371000     		dr = 5024.2343100005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12732041--0.12578642) × cos(1.03124068) × R
    0.00153398999999999 × 0.51375481530603 × 6371000     		do = 5020.95164671545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12732041--0.12578642) × cos(1.03045207) × R
    0.00153398999999999 × 0.51443123322305 × 6371000     		du = 5027.56231303554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03124068)-sin(1.03045207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51375481530603-0.51443123322305)×R²
    abs(-0.12578642--0.12732041)×0.000676417917019556×R²
    0.00153398999999999×0.000676417917019556×6371000²
    0.00153398999999999×0.000676417917019556×40589641000000     		ar = 25243045.6087817m²