Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1964 / 908
↖ ↑ ↗
← N 70.259452°
W  7.382813°		 ← 3 300.94 m → N 70.259452°
W  7.294922°		 →
↑
3 303.36 m
↓
↑
3 303.36 m
↓
N 70.229744°
W  7.382813°		 ← 3 305.71 m →
10 912 076 m²		 N 70.229744°
W  7.294922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4796142578125 y=0.2218017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4796142578125 × 212)
    floor (0.4796142578125 × 4096)
    floor (1964.5)     		tx = 1964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2218017578125 × 212)
    floor (0.2218017578125 × 4096)
    floor (908.5)     		ty = 908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1964 / 908 ti = "12/1964/908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1964/908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1964 ÷ 212
    1964 ÷ 4096     		x = 0.4794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 908 ÷ 212
    908 ÷ 4096     		y = 0.2216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4794921875 × 2 - 1) × π
    -0.041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12885439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2216796875 × 2 - 1) × π
    0.556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74873809813965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12885439} λ = -0.12885439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74873809813965))-π/2
    2×atan(5.74734551206066)-π/2
    2×1.39852754741514-π/2
    2.79705509483028-1.57079632675     		φ = 1.22625877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12885439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.382813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22625877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.259452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1964 KachelY 908 -0.12885439 1.22625877 -7.382813 70.259452
    Oben rechts KachelX + 1 1965 KachelY 908 -0.12732041 1.22625877 -7.294922 70.259452
    Unten links KachelX 1964 KachelY + 1 909 -0.12885439 1.22574027 -7.382813 70.229744
    Unten rechts KachelX + 1 1965 KachelY + 1 909 -0.12732041 1.22574027 -7.294922 70.229744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22625877-1.22574027) × R
    0.000518500000000088 × 6371000     		dl = 3303.36350000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22625877-1.22574027) × R
    0.000518500000000088 × 6371000     		dr = 3303.36350000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12885439--0.12732041) × cos(1.22625877) × R
    0.00153398000000002 × 0.337761447152447 × 6371000     		do = 3300.93809026229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12885439--0.12732041) × cos(1.22574027) × R
    0.00153398000000002 × 0.338249430390024 × 6371000     		du = 3305.70714389439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22625877)-sin(1.22574027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337761447152447-0.338249430390024)×R²
    abs(-0.12732041--0.12885439)×0.000487983237576817×R²
    0.00153398000000002×0.000487983237576817×6371000²
    0.00153398000000002×0.000487983237576817×40589641000000     		ar = 10912075.6064541m²