Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1964 / 2466
↖ ↑ ↗
← S 34.452219°
W  7.382813°		 ← 8 058.79 m → S 34.452219°
W  7.294922°		 →
↑
8 055.30 m
↓
↑
8 055.30 m
↓
S 34.524662°
W  7.382813°		 ← 8 051.79 m →
64 887 790 m²		 S 34.524662°
W  7.294922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4796142578125 y=0.6021728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4796142578125 × 212)
    floor (0.4796142578125 × 4096)
    floor (1964.5)     		tx = 1964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6021728515625 × 212)
    floor (0.6021728515625 × 4096)
    floor (2466.5)     		ty = 2466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1964 / 2466 ti = "12/1964/2466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1964/2466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1964 ÷ 212
    1964 ÷ 4096     		x = 0.4794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2466 ÷ 212
    2466 ÷ 4096     		y = 0.60205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4794921875 × 2 - 1) × π
    -0.041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12885439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60205078125 × 2 - 1) × π
    -0.2041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.641203969317871
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12885439} λ = -0.12885439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.641203969317871))-π/2
    2×atan(0.526657962155918)-π/2
    2×0.484745839921387-π/2
    0.969491679842773-1.57079632675     		φ = -0.60130465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12885439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.382813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60130465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.452219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1964 KachelY 2466 -0.12885439 -0.60130465 -7.382813 -34.452219
    Oben rechts KachelX + 1 1965 KachelY 2466 -0.12732041 -0.60130465 -7.294922 -34.452219
    Unten links KachelX 1964 KachelY + 1 2467 -0.12885439 -0.60256902 -7.382813 -34.524662
    Unten rechts KachelX + 1 1965 KachelY + 1 2467 -0.12732041 -0.60256902 -7.294922 -34.524662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60130465--0.60256902) × R
    0.00126437000000001 × 6371000     		dl = 8055.30127000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60130465--0.60256902) × R
    0.00126437000000001 × 6371000     		dr = 8055.30127000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12885439--0.12732041) × cos(-0.60130465) × R
    0.00153398000000002 × 0.824598251909172 × 6371000     		do = 8058.78764979989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12885439--0.12732041) × cos(-0.60256902) × R
    0.00153398000000002 × 0.82388231514847 × 6371000     		du = 8051.79080944542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60130465)-sin(-0.60256902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824598251909172-0.82388231514847)×R²
    abs(-0.12732041--0.12885439)×0.000715936760702029×R²
    0.00153398000000002×0.000715936760702029×6371000²
    0.00153398000000002×0.000715936760702029×40589641000000     		ar = 64887790.2059062m²